logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Logika, zadanie nr 3608

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

carmelowl
postów: 2
2015-09-09 13:55:48

Znaleźć moc zbioru wszystkich funkcji ciągłych z R do R. Uzasadnić odpowiedź


tumor
postów: 8070
2015-09-09 14:49:57

Skorzystać z faktu, że dwie funkcje ciągłe, jeśli są identyczne dla $x\in Q$, to w ogóle są identyczne.
Wobec tego funkcji ciągłych jest co najwyżej tyle, ile funkcji z $Q$ w $R$, a tych jest $c^{\aleph_0}=c$

Z drugiej strony funkcje stałe są ciągłe, więc wszystkich funkcji ciągłych jest co najmniej tyle ile funkcji stałych, czyli $c$

---

Wypada znać dowód tego faktu, na który się powołałem.

$Q$ jest gęsty.
Weźmy $x\in R\backslash Q$, taki, że $f(x)\neq g(x)$.
Wtedy $f(x), g(x)$ mają otoczenia rozłączne $V_f, V_g$ (bo $R$ jest Hausdorffa), $f,g$ są ciągłe, zatem istnieje otoczenie $U$ punktu $x$ takie, że $f(U)\subset V_f$, $g(U)\subset V_g$, wobec czego $f(U)$ rozłączne z $g(U)$, co daje sprzeczność z gęstością Q.


janusz78
postów: 820
2015-09-09 16:11:14

Druga idea dowodu polega na spostrzeżeniu, że
każda funkcja rzeczywista - ciągła jest jednoznacznie wyznaczona przez swoje obcięcie do zbioru liczb wymiernych.

Patrz na przykład
Jan Kraszewski. Wstęp do matematyki. Wydawnictwo Naukowo -Techniczne. Warszawa 2012


tumor
postów: 8070
2015-09-09 16:30:19

To ta sama idea dowodu, Janusz. Napisałem do właśnie, że dwie funkcje ciągłe równe na zbiorze gęstym (na przykład Q), są równe. Czyli - wartości na zbiorze gęstym wyznaczają funkcję jednoznacznie. :)


Wiadomość była modyfikowana 2015-09-09 16:31:30 przez tumor
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 15 drukuj