Logika, zadanie nr 3608
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
carmelowl post贸w: 2 |  2015-09-09 13:55:48Znale藕膰 moc zbioru wszystkich funkcji ci膮g艂ych z R do R. Uzasadni膰 odpowied藕 |
tumor post贸w: 8070 | 2015-09-09 14:49:57 Skorzysta膰 z faktu, 偶e dwie funkcje ci膮g艂e, je艣li s膮 identyczne dla $x\in Q$, to w og贸le s膮 identyczne. Wobec tego funkcji ci膮g艂ych jest co najwy偶ej tyle, ile funkcji z $Q$ w $R$, a tych jest $c^{\aleph_0}=c$ Z drugiej strony funkcje sta艂e s膮 ci膮g艂e, wi臋c wszystkich funkcji ci膮g艂ych jest co najmniej tyle ile funkcji sta艂ych, czyli $c$ --- Wypada zna膰 dow贸d tego faktu, na kt贸ry si臋 powo艂a艂em. $Q$ jest g臋sty. We藕my $x\in R\backslash Q$, taki, 偶e $f(x)\neq g(x)$. Wtedy $f(x), g(x)$ maj膮 otoczenia roz艂膮czne $V_f, V_g$ (bo $R$ jest Hausdorffa), $f,g$ s膮 ci膮g艂e, zatem istnieje otoczenie $U$ punktu $x$ takie, 偶e $f(U)\subset V_f$, $g(U)\subset V_g$, wobec czego $f(U)$ roz艂膮czne z $g(U)$, co daje sprzeczno艣膰 z g臋sto艣ci膮 Q. |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-09-09 16:11:14 Druga idea dowodu polega na spostrze偶eniu, 偶e ka偶da funkcja rzeczywista - ci膮g艂a jest jednoznacznie wyznaczona przez swoje obci臋cie do zbioru liczb wymiernych. Patrz na przyk艂ad Jan Kraszewski. Wst臋p do matematyki. Wydawnictwo Naukowo -Techniczne. Warszawa 2012 |
tumor post贸w: 8070 | 2015-09-09 16:30:19 To ta sama idea dowodu, Janusz. Napisa艂em do w艂a艣nie, 偶e dwie funkcje ci膮g艂e r贸wne na zbiorze g臋stym (na przyk艂ad Q), s膮 r贸wne. Czyli - warto艣ci na zbiorze g臋stym wyznaczaj膮 funkcj臋 jednoznacznie. :) Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-09-09 16:31:30 przez tumor |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj