Logika, zadanie nr 3608
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
carmelowl postów: 2 | 2015-09-09 13:55:48 Znaleźć moc zbioru wszystkich funkcji ciągłych z R do R. Uzasadnić odpowiedź |
tumor postów: 8070 | 2015-09-09 14:49:57 Skorzystać z faktu, że dwie funkcje ciągłe, jeśli są identyczne dla $x\in Q$, to w ogóle są identyczne. Wobec tego funkcji ciągłych jest co najwyżej tyle, ile funkcji z $Q$ w $R$, a tych jest $c^{\aleph_0}=c$ Z drugiej strony funkcje stałe są ciągłe, więc wszystkich funkcji ciągłych jest co najmniej tyle ile funkcji stałych, czyli $c$ --- Wypada znać dowód tego faktu, na który się powołałem. $Q$ jest gęsty. Weźmy $x\in R\backslash Q$, taki, że $f(x)\neq g(x)$. Wtedy $f(x), g(x)$ mają otoczenia rozłączne $V_f, V_g$ (bo $R$ jest Hausdorffa), $f,g$ są ciągłe, zatem istnieje otoczenie $U$ punktu $x$ takie, że $f(U)\subset V_f$, $g(U)\subset V_g$, wobec czego $f(U)$ rozłączne z $g(U)$, co daje sprzeczność z gęstością Q. |
janusz78 postów: 820 | 2015-09-09 16:11:14 Druga idea dowodu polega na spostrzeżeniu, że każda funkcja rzeczywista - ciągła jest jednoznacznie wyznaczona przez swoje obcięcie do zbioru liczb wymiernych. Patrz na przykład Jan Kraszewski. Wstęp do matematyki. Wydawnictwo Naukowo -Techniczne. Warszawa 2012 |
tumor postów: 8070 | 2015-09-09 16:30:19 To ta sama idea dowodu, Janusz. Napisałem do właśnie, że dwie funkcje ciągłe równe na zbiorze gęstym (na przykład Q), są równe. Czyli - wartości na zbiorze gęstym wyznaczają funkcję jednoznacznie. :) Wiadomość była modyfikowana 2015-09-09 16:31:30 przez tumor |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj