logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3609

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

wild2nite
postów: 4
2015-09-09 19:56:49

Witam. Mam problem z trzema zadankami. Jeśli nie byłoby to problemem prosiłbym o ich rozwiązanie :) Z góry dziękuję z pomoc. Pozdrawiam.
Zad. 1.

Wyznaczyc srodek krzywizny krzywej:

y=$x^{2}+2x-1$ w punkcie A(1,2)

Zad.2
Zbadac, dla jakich z $\in$ C szereg jest zbiezny:


$\sum$ $\frac{2^{n}}{n!}$$z^{n}$


Zad. 3
Zbadac zbieznosc ciagu:

$a_{n}$=$\sqrt[n]{3^{n}+4^{n}}$+$i\frac{n^{2}-3n+5}{3n^{2}+5n-7}$

Wiadomość była modyfikowana 2015-09-09 20:45:01 przez wild2nite

tumor
postów: 8070
2015-09-09 20:26:53

Zad.2.

Promień zbieżności $R=\frac{1}{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{2^n}{n^2}}}=\frac{1}{2}$, czyli zbieżny dla $|z|<\frac{1}{2}$. Na samym okręgu również zbieżny, skoro $\sum \frac{1}{n^2}$ zbieżny. Poza kołem zbieżności rozbieżny.






janusz78
postów: 820
2015-09-09 20:31:39

Zad.3

$lim_{n\to \infty} a_{n}= 4 + i\frac{1}{3}.$


Część rzeczywista
Z twierdzenia o trzech ciagach

$ 4 \leftarrow \sqrt[n]{4^{n}}< \sqrt[n]{3^{n}+4^{n}}< \sqrt[n]{2\cdot 4^{n}}\rightarrow 4.$

Część urojona

$ lim_{n\to \infty} \frac{n^2-3n +5}{3n^2+5n -7}=\frac{1}{3}.$

c.b.d.o.


wild2nite
postów: 4
2015-09-09 20:34:21

Tumor przepraszam ale niepoprawnie napisałem zadanie gdyż w mianowniku nie ma być $n^{2}$ tylko n!. Mogę prosić o poprawkę z Twojej strony? Dziękuję za odpowiedź

Wiadomość była modyfikowana 2015-09-09 20:35:01 przez wild2nite

janusz78
postów: 820
2015-09-09 20:51:07

Zad.1

Dla
$f(x)= x^2 + 2x -1.$

$ r = \frac{\left( 1+f'^2(x_{0}\right )^{\frac{3}{2}}}{|f"(x_{0}|},$

$f'(x)= 2x+2,\ \ f'(1)= 4.$

$f"(x)= 2,\ \ f"(1)=2.$

$ r = \frac{(1+4^2)^{\frac{3}{2}}}{2}= \frac{\sqrt{17^3}}{2}= \frac{17}{2}\sqrt{17}.$

Wiadomość była modyfikowana 2015-09-10 21:15:52 przez janusz78

tumor
postów: 8070
2015-09-09 20:52:04

Jasne.

$\frac{a^n}{n!}$ jest zbieżny dla dowolnego $a$ dodatniego.

Zauważmy bowiem, że dla pewnego $n_0$ i $k>n_0$ mamy też $k>a$, dla $l>k^2$ mamy $l>a^2$, zatem dla $n=2k+l+2$ wyrazy naszego ciągu są mniejsze niż $\frac{2}{(n-1)n}$
(pierwsze $k$ czynników w mianowniku olewamy, następne $l$ wyrazów to wyrazy większe od a, następne k czynników to wyrazy większe do $a^2$, zatem już zrównoważyliśmy licznik.)

Wobec tego także dla dowolnego $z$ zespolonego szereg zbieżny.


----
tak badamy zbieżność. Dość oczywiste jest także zauważenie, że to wyrazy rozwinięcia w szereg potęgowy funkcji $e^{2z}$, co od razu pozwala podać sumę szeregu, a nie tylko stwierdzić zbieżność.

Wiadomość była modyfikowana 2015-09-09 20:55:40 przez tumor
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 18 drukuj