logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3611

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

wild2nite
postów: 4
2015-09-09 22:17:48

Wyznaczyć równania stycznej i normalnej do krzywej x=lnt+z
y=$t^{2}$+5t dla t=1
Nie mogę sobie poradzić z tym zadaniem. Proszę o odpowiedź. Dziękuję


tumor
postów: 8070
2015-09-10 08:27:28

A czym jest $z$? Bo trochę tu nie pasuje.

Ogólnie pomyśl czym jest pochodna. To tangens kąta nachylenia, inaczej granica ilorazu różnicowego.

Nachylenie prostej stycznej do naszej krzywej to

$\lim_{h \to 0}\frac{y(t_0+h)-y(t_0)}{x(t_0+h)-x(t_0)}$

gdy $h$ jest duże, to iloraz $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ opisuje tangens kąta dużego trójkąta, gdy h zbliża się do 0, otrzymujemy tangens graniczny, nachylenie stycznej w punkcie.

Granicę tę możesz policzyć wprost, a możesz prostym zabiegiem:

$\lim_{h \to 0}\frac{\frac{y(t_0+h)-y(t_0)}{h}}{\frac{x(t_0+h)-x(t_0)}{h}}=\frac{y`(t_0)}{x`(t_0)}$

$x`=\frac{1}{t}$
$x`(1)=1$

$y`=2t+5$
$y`(1)=7$

Ponadto $x_0=x(1)=z$ (nie wiem, to $z$ jest stałą? Bo nie bardzo może być parametrem)
$y_0=y(1)=6$


A dalej jak w poprzednim zadaniu. Styczna to
$y=\frac{y`(t_0)}{x`(t_0)}(x-x_0)+y_0$
a normalna
$y=\frac{-x`(t_0)}{y`(t_0)}(x-x_0)+y_0$


-----

Uwaga pierwsza
W poprzednim rozwiązaniu liczyliśmy $y=ax+b$ po kolei, najpierw $a$, potem $b$. Teraz masz gotowe wzory. We wzorach ułamek oznacza współczynnik kierunkowy $a$, czyli tangens nachylenia stycznej, czyli pochodną. Natomiast odejmowanie $x-x_0$ i $y-y_0$ (tu $y_0$ przeniesiono od razu na prawo) zapewnia, że dana prosta przejdzie przez $(x_0,y_0)$.

Uwaga druga
Styczna do wykresu krzywej może być w układzie współrzędnych równoległa do OY, czyli "pionowa". Wówczas pochodna $y`(x)$ wychodzi w takim punkcie nieskończona.
Można jednak traktować krzywą w pewnym otoczeniu tego punktu jako funkcję $x(y)$ i rozwiązać zadanie analogicznie tylko na zamienionych osiach, licząc pochodną $x`(y)$.

Uwaga trzecia. Proste x=c (dla stałej c) są pionowe, y=d (dla stałej d) są poziome. Zatem w przypadku zerującej się pochodnej $y`(x)$ lub $x`(y)$ jedna z nich będzie styczną, druga normalną.


janusz78
postów: 820
2015-09-10 15:28:07

Można jeszcze inaczej.

Przechodzimy na zapis równania krzywej we współrzędnych kartezjańskich $x,y.$

Zakładamy, że $ z $ jest stałą.

Z równania drugiego wyznaczamy parametr $ t = e^{x-z}$ i podstawiamy do równania pierwszego.

$ y = e^{2(x-z)}+ 5e^{x-z}.$

Obliczamy wartość pierwszej pochodnej w punkcie $ P(z, 6)$ dla $ t=1,\ $

$y'|_{x}(z, 6)= (2e^{2(x-z)}+5e^{x-z})_{(z,6)} = 7e^0 = 7.$

Równanie stycznej w punkcie P

$y -6 = 7(x - z),$

$ y = 7x - 7z + 6.$

Równanie normalnej - prostej prostopadłej do stycznej w tym punkcie o współczynniku kierunkowym $ m=-\frac{1}{a}.$

$ y- 6 = -\frac{1}{7}(x - z),$

$ y=-\frac{1}{7}x + \frac{1}{7}z + 6.$




strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 17 drukuj