Algebra, zadanie nr 3611

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
wild2nite postów: 4	2015-09-09 22:17:48 Wyznaczyć równania stycznej i normalnej do krzywej x=lnt+z y=$t^{2}$+5t dla t=1 Nie mogę sobie poradzić z tym zadaniem. Proszę o odpowiedź. Dziękuję

tumor postów: 8070	2015-09-10 08:27:28 A czym jest $z$? Bo trochę tu nie pasuje. Ogólnie pomyśl czym jest pochodna. To tangens kąta nachylenia, inaczej granica ilorazu różnicowego. Nachylenie prostej stycznej do naszej krzywej to $\lim_{h \to 0}\frac{y(t_0+h)-y(t_0)}{x(t_0+h)-x(t_0)}$ gdy $h$ jest duże, to iloraz $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ opisuje tangens kąta dużego trójkąta, gdy h zbliża się do 0, otrzymujemy tangens graniczny, nachylenie stycznej w punkcie. Granicę tę możesz policzyć wprost, a możesz prostym zabiegiem: $\lim_{h \to 0}\frac{\frac{y(t_0+h)-y(t_0)}{h}}{\frac{x(t_0+h)-x(t_0)}{h}}=\frac{y`(t_0)}{x`(t_0)}$ $x`=\frac{1}{t}$ $x`(1)=1$ $y`=2t+5$ $y`(1)=7$ Ponadto $x_0=x(1)=z$ (nie wiem, to $z$ jest stałą? Bo nie bardzo może być parametrem) $y_0=y(1)=6$ A dalej jak w poprzednim zadaniu. Styczna to $y=\frac{y`(t_0)}{x`(t_0)}(x-x_0)+y_0$ a normalna $y=\frac{-x`(t_0)}{y`(t_0)}(x-x_0)+y_0$ ----- Uwaga pierwsza W poprzednim rozwiązaniu liczyliśmy $y=ax+b$ po kolei, najpierw $a$, potem $b$. Teraz masz gotowe wzory. We wzorach ułamek oznacza współczynnik kierunkowy $a$, czyli tangens nachylenia stycznej, czyli pochodną. Natomiast odejmowanie $x-x_0$ i $y-y_0$ (tu $y_0$ przeniesiono od razu na prawo) zapewnia, że dana prosta przejdzie przez $(x_0,y_0)$. Uwaga druga Styczna do wykresu krzywej może być w układzie współrzędnych równoległa do OY, czyli "pionowa". Wówczas pochodna $y`(x)$ wychodzi w takim punkcie nieskończona. Można jednak traktować krzywą w pewnym otoczeniu tego punktu jako funkcję $x(y)$ i rozwiązać zadanie analogicznie tylko na zamienionych osiach, licząc pochodną $x`(y)$. Uwaga trzecia. Proste x=c (dla stałej c) są pionowe, y=d (dla stałej d) są poziome. Zatem w przypadku zerującej się pochodnej $y`(x)$ lub $x`(y)$ jedna z nich będzie styczną, druga normalną.

janusz78 postów: 820	2015-09-10 15:28:07 Można jeszcze inaczej. Przechodzimy na zapis równania krzywej we współrzędnych kartezjańskich $x,y.$ Zakładamy, że $ z $ jest stałą. Z równania drugiego wyznaczamy parametr $ t = e^{x-z}$ i podstawiamy do równania pierwszego. $ y = e^{2(x-z)}+ 5e^{x-z}.$ Obliczamy wartość pierwszej pochodnej w punkcie $ P(z, 6)$ dla $ t=1,\ $ $y'\|_{x}(z, 6)= (2e^{2(x-z)}+5e^{x-z})_{(z,6)} = 7e^0 = 7.$ Równanie stycznej w punkcie P $y -6 = 7(x - z),$ $ y = 7x - 7z + 6.$ Równanie normalnej - prostej prostopadłej do stycznej w tym punkcie o współczynniku kierunkowym $ m=-\frac{1}{a}.$ $ y- 6 = -\frac{1}{7}(x - z),$ $ y=-\frac{1}{7}x + \frac{1}{7}z + 6.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj