logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 3618

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

multiks
postów: 1
2015-09-11 17:52:08

Bardzo prosze o pomoc w rozwiazaniu granicy:
$\lim_{x \to 0+} (\frac{arctgx}{x})^\frac{1}{x}$

W wykladniku jest 1/x

Wiadomość była modyfikowana 2015-09-11 17:53:04 przez multiks

tumor
postów: 8070
2015-09-11 18:09:35

$ \lim_{x \to 0+}((1-\frac{1}{\frac{x}{x-arctgx}})^\frac{x}{x-arctgx})^\frac{x-arctgx}{x^2}$

Przy tym $\lim_{x \to 0+}\frac{x}{x-arctgx}=(H)=
\lim_{x \to 0+}\frac{1}{1-\frac{1}{1+x^2}}=\infty$
co nam umożliwia potraktowanie przykładu jak
$e^{-\lim_{x \to 0+}\frac{x-arctgx}{x^2}}$

oraz
$\lim_{x \to 0+}\frac{x-arctgx}{x^2}=(H)=
\lim_{x \to 0+}\frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{2x}=
\lim_{x \to 0+}\frac{\frac{x^2}{1+x^2}}{2x}=0$

zatem wynikiem jest $e^0=1$

(H) oznacza zastosowanie reguły de l'Hospitala. Nie piszę, że sprawdzam założenia, ale sprawdzam je - reguła ma swoje wymagania i musi być wiadomo, że można ją stosować. Oprócz tego wykorzystuję granicę
jeśli $f(x)\to \infty$, to
$(1-\frac{1}{f(x)})^{f(x)}\to e^{-1}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 22 drukuj