logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3621

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

piotras482
postów: 3
2015-09-12 13:29:54

Mam problem jeszcze z jednym zadaniem. Bardzo bym prosił o pomoc.

Dana jest funkcja:

f(x,y) = $\frac{3}{p}\cdot x^{3} - pxy^{2} + py^{2} - q$

Wyznacz punkty stacjonarne i ekstrema lokalne tej funkcji.

Z góry dzięki :)


janusz78
postów: 820
2015-09-12 18:53:07

Współrzędne punktów stacjonarnych:

$p\neq 0.$

$f'_{|x}(x,y)= \frac{9}{p}x^2 - py^2=0$ (1)

$f'_{y}(x,y) = -2pxy+2py =0.$ (2)

Z (2)

$-2py(x-1)=0, \ \ x_{1} =1.$

Z (1)

$\frac{9}{p}-py^2=0,$

$y^2 = \frac{9}{p^{2}},$

$y_{1}= -\frac{3}{p}, \ y_{2}= \frac{3}{p}.$

$ P_{1}= (1,\ \ -3/p), \ \ P_{2}= (1, \ \ 3/p).$

Ekstrema lokalne

Pochodne cząstkowe rzędu II

$f"_{x|x}(x,y)= \frac{18}{p}x,$

$f"_{x|y}(x,y)= -2py,$

$f"_{y|x}(x,y)= -2py,$

$f"_{y|y}(x,y) = -2px +2p.$

Wartości pochodnych cząstkowych rzędu II w punktach stacjonarnych

$f"_{x|x}(P_{1})= \frac{18}{p},$

$f"_{y|x}(P_{1})= 6,$

$f"_{y|x}(P_{1})= 6,$

$f"_{y|y}(P_{1}) = 0.$

$f"_{x|x}(P_{2})= \frac{18}{p},$

$f"_{y|x}(P_{2})= -6,$

$f"_{y|x}(P_{2})= -6,$

$f"_{y|y}(P_{2}) = 0.$

Macierze drugich różniczek

$D^2(f(P_{1}))= \left[\begin{matrix}\frac{18}{p}& 6 \\ 6 & 0\end{matrix}\right].$

$D^2(f(P_{2}))= \left[\begin{matrix}\frac{18}{p}&-6\\-6 & 0\end{matrix}\right].$

Macierze drugich różniczek w punktach $ P_{1}$ jak i $P_{2}$ są nieokreślone ujemnie jak i dodatnio, zarówno dla $p<0 $ jak i dla $ p>0.$ więc funkcja nie ma ekstremów lokalnych

To jest zadanie z analizy matematycznej - nie algebry.



Wiadomość była modyfikowana 2015-09-12 19:19:28 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 16 drukuj