Algebra, zadanie nr 3626

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
axeleczek postów: 5	2015-09-13 21:18:30 W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie z^3=i\|z\| Wiem, że można stosować wzór Eulera ale nie potrafię zrobić tego zadania. Czy istnieje inny sposób niż wzór Eulera ?

janusz78 postów: 820	2015-09-13 23:22:16 Najprościej podstawieniem postaci wykładniczej (Eulera) liczby, trudniej jej postacią trygonometryczną. $ z = re^{i(\phi +2k\pi)}, k\in Z$ $ r\left[r^2e^{i(3\phi+2k\pi)}- i\right]=0,$ $ r=0, z_{1}= 0,$ $r^2e^{i(3\phi+2k\pi)} = 1e^{i\frac{\pi}{2}},$ $ r = 1, \phi_{k}= \frac{\pi}{6}+ \frac{2}{3}k\pi,\ \ k=0,1,2. $ $z_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}+ i\frac{1}{2},$ $ z_{3}= -\frac{\sqrt{3}}{2}+ i\frac{1}{2},$ $ z_{4}= -i.$ Wiadomość była modyfikowana 2015-09-14 09:33:01 przez janusz78

axeleczek postów: 5	2015-09-14 17:33:50 Dziękuję bardzo, ale mam pytanie mianowicie zrobiłem to zadanie w następujący sposób i mam błąd, mógłbyś mi wytłumaczyć gdzie ? założenia $0\le\phi<2\pi$ ; $r>0$ $z^3$=i\|z\| $r^{3}e^{3i\phi}=ire^{i0}$ $r(r^{2}-1)=0 => r=0 \cup r=1 $ $e^{3i\phi}=e^{i0} => 3\phi= 0+2K\pi$, $K\in C $ $\phi = \frac{2k\Pi}{3} $ zgodnie z założeniami K może równać się tylko 0,1,2 $z=r(cos\phi + isin\phi) $ $z_{1}=0$ $z_{2}=1$ $z_{3}= -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ $z_{4}= -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ Wyszły mi wyniki odwrotne do Twoich. Ale dlaczego ? Wiadomość była modyfikowana 2015-09-14 17:35:45 przez axeleczek

janusz78 postów: 820	2015-09-14 18:04:15 Nie uwzględniłeś w podstawieniu ( czwarta linijka) jednostki urojonej $ i$, którą należało zamienić na postać wykładniczą. $ i = e^{i\frac{\pi}{2}}$ (1) Moduły obliczyłeś poprawnie. Porównanie argumentów po podstawieniu (1) prowadzi do równości $\phi_{k}= \frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}k\pi.$ Dla $ k=0:\ \ \phi_{0}= \frac{\pi}{6}$ $k=1: \ \ \phi_{1}= \frac{5}{6}\pi,$ $k=2: \ \ \phi_{2}= \frac{9}{6}\pi= \frac{3}{2}\pi.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj