logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3626

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

axeleczek
postów: 5
2015-09-13 21:18:30

W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie
z^3=i|z|
Wiem, że można stosować wzór Eulera ale nie potrafię zrobić tego zadania.
Czy istnieje inny sposób niż wzór Eulera ?


janusz78
postów: 820
2015-09-13 23:22:16

Najprościej podstawieniem postaci wykładniczej (Eulera) liczby, trudniej jej postacią trygonometryczną.

$ z = re^{i(\phi +2k\pi)}, k\in Z$

$ r\left[r^2e^{i(3\phi+2k\pi)}- i\right]=0,$

$ r=0, z_{1}= 0,$

$r^2e^{i(3\phi+2k\pi)} = 1e^{i\frac{\pi}{2}},$

$ r = 1, \phi_{k}= \frac{\pi}{6}+ \frac{2}{3}k\pi,\ \ k=0,1,2. $

$z_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}+ i\frac{1}{2},$

$ z_{3}= -\frac{\sqrt{3}}{2}+ i\frac{1}{2},$

$ z_{4}= -i.$




Wiadomość była modyfikowana 2015-09-14 09:33:01 przez janusz78

axeleczek
postów: 5
2015-09-14 17:33:50

Dziękuję bardzo, ale mam pytanie mianowicie zrobiłem to zadanie w następujący sposób i mam błąd, mógłbyś mi wytłumaczyć gdzie ?
założenia
$0\le\phi<2\pi$ ;
$r>0$

$z^3$=i|z|
$r^{3}*e^{3i\phi}=i*r*e^{i*0}$
$r(r^{2}-1)=0 => r=0 \cup r=1 $
$e^{3i\phi}=e^{i*0} => 3\phi= 0+2K\pi$, $K\in C $
$\phi = \frac{2k\Pi}{3} $
zgodnie z założeniami K może
równać się tylko 0,1,2
$z=r(cos\phi + i*sin\phi) $
$z_{1}=0$
$z_{2}=1$
$z_{3}= -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}*i$
$z_{4}= -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}*i$

Wyszły mi wyniki odwrotne do Twoich. Ale dlaczego ?

Wiadomość była modyfikowana 2015-09-14 17:35:45 przez axeleczek

janusz78
postów: 820
2015-09-14 18:04:15

Nie uwzględniłeś w podstawieniu ( czwarta linijka) jednostki urojonej $ i$, którą należało zamienić na postać wykładniczą.

$ i = e^{i\frac{\pi}{2}}$ (1)

Moduły obliczyłeś poprawnie.

Porównanie argumentów po podstawieniu (1) prowadzi do równości

$\phi_{k}= \frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}k\pi.$

Dla
$ k=0:\ \ \phi_{0}= \frac{\pi}{6}$

$k=1: \ \ \phi_{1}= \frac{5}{6}\pi,$

$k=2: \ \ \phi_{2}= \frac{9}{6}\pi= \frac{3}{2}\pi.$


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 18 drukuj