Algebra, zadanie nr 3626
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
axeleczek post贸w: 5 |  2015-09-13 21:18:30W zbiorze liczb zespolonych rozwi膮za膰 r贸wnanie z^3=i|z| Wiem, 偶e mo偶na stosowa膰 wz贸r Eulera ale nie potrafi臋 zrobi膰 tego zadania. Czy istnieje inny spos贸b ni偶 wz贸r Eulera ? |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-09-13 23:22:16 Najpro艣ciej podstawieniem postaci wyk艂adniczej (Eulera) liczby, trudniej jej postaci膮 trygonometryczn膮. $ z = re^{i(\phi +2k\pi)}, k\in Z$ $ r\left[r^2e^{i(3\phi+2k\pi)}- i\right]=0,$ $ r=0, z_{1}= 0,$ $r^2e^{i(3\phi+2k\pi)} = 1e^{i\frac{\pi}{2}},$ $ r = 1, \phi_{k}= \frac{\pi}{6}+ \frac{2}{3}k\pi,\ \ k=0,1,2. $ $z_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}+ i\frac{1}{2},$ $ z_{3}= -\frac{\sqrt{3}}{2}+ i\frac{1}{2},$ $ z_{4}= -i.$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-09-14 09:33:01 przez janusz78 |
axeleczek post贸w: 5 | 2015-09-14 17:33:50 Dzi臋kuj臋 bardzo, ale mam pytanie mianowicie zrobi艂em to zadanie w nast臋puj膮cy spos贸b i mam b艂膮d, m贸g艂by艣 mi wyt艂umaczy膰 gdzie ? za艂o偶enia $0\le\phi<2\pi$ ; $r>0$ $z^3$=i|z| $r^{3}*e^{3i\phi}=i*r*e^{i*0}$ $r(r^{2}-1)=0 => r=0 \cup r=1 $ $e^{3i\phi}=e^{i*0} => 3\phi= 0+2K\pi$, $K\in C $ $\phi = \frac{2k\Pi}{3} $ zgodnie z za艂o偶eniami K mo偶e r贸wna膰 si臋 tylko 0,1,2 $z=r(cos\phi + i*sin\phi) $ $z_{1}=0$ $z_{2}=1$ $z_{3}= -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}*i$ $z_{4}= -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}*i$ Wysz艂y mi wyniki odwrotne do Twoich. Ale dlaczego ? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-09-14 17:35:45 przez axeleczek |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-09-14 18:04:15 Nie uwzgl臋dni艂e艣 w podstawieniu ( czwarta linijka) jednostki urojonej $ i$, kt贸r膮 nale偶a艂o zamieni膰 na posta膰 wyk艂adnicz膮. $ i = e^{i\frac{\pi}{2}}$ (1) Modu艂y obliczy艂e艣 poprawnie. Por贸wnanie argument贸w po podstawieniu (1) prowadzi do r贸wno艣ci $\phi_{k}= \frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}k\pi.$ Dla $ k=0:\ \ \phi_{0}= \frac{\pi}{6}$ $k=1: \ \ \phi_{1}= \frac{5}{6}\pi,$ $k=2: \ \ \phi_{2}= \frac{9}{6}\pi= \frac{3}{2}\pi.$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj