logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3628

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

ilona88
postów: 2
2015-09-14 11:52:46

Znajdź rząd macierzy $A\in M_4(R)$
$ A=\begin{bmatrix}
2&3 &1&-1\\
3&1 &4&2\\
1&2&3& -1\\
1&-4&-7&5
\end{bmatrix} $


tumor
postów: 8070
2015-09-14 15:09:06

$\begin{bmatrix}
2&3 &1&-1\\
3&1 &4&2\\
1&2&3& -1\\
1&-4&-7&5
\end{bmatrix} $

odejmujemy ostatni wiersz od pozostałych odpowiednio wiele razy
$\begin{bmatrix}
0&11 &15 &-11 \\
0&13 &25 &-13 \\
0&6 &10 & -6 \\
1&-4&-7&5
\end{bmatrix} $

odejmujemy ostatnią kolumnę od pozostałych
$\begin{bmatrix}
0&11 &15 &-11 \\
0&13 &25 &-13 \\
0&6 &10 & -6 \\
1&0&0&0
\end{bmatrix} $

Trzeci wiersz odejmujemy od pierwszego i od drugiego
$\begin{bmatrix}
0&-1 &-5 &1 \\
0&1 &5 &-1 \\
0&6 &10 & -6 \\
1&0&0&0
\end{bmatrix} $

Jakby pierwszy pomnożyć przez -1 to da drugi, czyli jeden z nich można skreślić

$\begin{bmatrix}

0&1 &5 &-1 \\
0&6 &10 & -6 \\
1&0&0&0
\end{bmatrix} $

Wykonywałem operacje elementarne nie zmieniające rzędu. Dodawałem do jednego wiersza inny pomnożony przez liczbę lub analogicznie postępowałem z kolumnami. Można jeszcze zmieniać kolejność kolumn/wierszy, by uzyskać postać trójkątną (lub diagonalną). Jeśli wówczas na przekątnej nie ma zer, to rząd jest równy wymiarowi macierzy.

W takiej postaci jak powyżej widać już, że znajdziemy podmacierz 3*3 o niezerowym wyznaczniku. Zatem rząd 3.
Można było wykonywać operacje elementarne jeszcze chwilę, usunąć kolumnę zer (dało się taką uzyskać) i dojść do postaci
$\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1 &0 \\
0&0 &1
\end{bmatrix} $
ale nie trzeba. :)

Można było, jeśli się lubi, liczyć wyznacznik całej macierzy (wyjdzie 0), czyli rząd nie jest 4. Jeśli istnieje podmacierz o wymiarze 3*3 z niezerowym wyznacznikiem (a istnieje), to rząd jest 3.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 20 drukuj