Inne, zadanie nr 3633
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
sevastian1897 post贸w: 9 |  2015-09-16 10:32:17Witam mam problem z liczbami zespolonymi W przyk艂adzie $z^{3}+27i=0$ Przy samym pocz膮tku po ma艂ym przekszta艂ceniu gdy mamy $z=\sqrt[3]{-27i}$Nie wiem ile to b臋dzie. Chodzi o to ze w przyk艂adach z liczba rzeczywist膮 przy obliczaniu kolejnych mo偶liwych rozwi膮za艅 musimy to policzy膰 i tam bez \"i\"jest to 艂atwe. Co jednak gdy mamy podan膮 liczb臋 urojon膮 czy mam to osobno policzy膰 ze wzoru ? Jakby kto艣 m贸g艂 mi to pokaza膰 r贸wnie偶 na etapach np z2 i z3 jak to si臋 b臋dzie 艂膮czy膰 z $isin(\frac{2\pi}{3})$ |
tumor post贸w: 8070 | 2015-09-16 10:47:06 Przemy艣l sobie, CO M脫WI wz贸r de Moivre\'a na pierwiastki liczby zespolonej $\sqrt[n]{|z|(cos\phi+isin\phi)}=\sqrt[n]{|z|}(cos\frac{\phi+2k\pi}{n}+isin\frac{\phi+2k\pi}{n})$ dla $k=0,1,2,...,n-1$ to n r贸偶nych pierwiastk贸w, ale r贸偶ni膮cych si臋 tylko k膮tem (wielokrotno艣ci膮 $\frac{2\pi}{n}$) Mo偶esz przedstawi膰 -27i w postaci trygonometrycznej $|27|(cos\frac{3\pi}{2}+isin\frac{3\pi}{2})$ i po prostu podstawi膰 do wzoru. Mo偶esz te偶 znale藕膰 jeden z pierwiastk贸w \"na oko\", b臋dzie to $3i$ (bo $(3i)^3=-27i$). Pozosta艂e dwa r贸偶ni膮 si臋 o k膮t $\frac{2\pi}{3}$, czyli wystarczy wykona膰 mno偶enie $3i*(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})$ oraz $3i*(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})^2$ by otrzyma膰 pozosta艂e rozwi膮zania. (Mno偶enie przez liczb臋 zespolon膮 o module 1 nic nie robi poza zmian膮 k膮ta. To tak naprawd臋 zapis obrotu). Gdy rozumiesz wz贸r de Moivre\'a, to widzisz, 偶e jeden z pierwiastk贸w trzeciego stopnia z liczby $z$ ma zawsze k膮t trzy razy mniejszy ni偶 k膮t liczby $z$. Skoro $-27i$ ma oczywisty k膮t $\frac{3}{2}\pi$, to jeden z pierwiastk贸w ma na pewno $\frac{1}{2}\pi$ (czyli jest r贸wny $ai$ z dodatnim wsp贸艂czynnikiem $a$). Modu艂 pierwiastka trzeciego stopnia liczby $z$ jest pierwiastkiem trzeciego stopnia z modu艂u $z$. To wszystko jest napisane w tym wzorze, tylko trzeba go czyta膰 ze zrozumieniem! ----- Pytasz o metod臋, jakby艣 nie chcia艂 rozumie膰. Zrozum, sk膮d ten wz贸r si臋 bierze, jakie wyniki daje, jak one wygl膮daj膮 graficznie i jak algebraicznie. |
sevastian1897 post贸w: 9 | 2015-09-16 13:17:11 Rozumiem ju偶 jak do tego dosz艂o. \"i\" nie znika przy pierwiastkowaniu a reszt臋 robi臋 wzorem(my艣la艂em 偶e jest tutaj jaki艣 haczyk bo zadanie wydawa艂o si臋 strasznie 艂atwe). Tylko Robi艂em dalej tak 偶e ka偶de kolejne rozwi膮zanie np z3 bra艂em podstawiaj膮c wynik z2 tak 偶e wygl膮da艂o to tak: $z_{3}=z_{2}*(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})$. Przywyk艂em do takiego sposobu. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj