logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 3633

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sevastian1897
postów: 9
2015-09-16 10:32:17

Witam mam problem z liczbami zespolonymi

W przykładzie $z^{3}+27i=0$ Przy samym początku po małym przekształceniu gdy mamy $z=\sqrt[3]{-27i}$Nie wiem ile to będzie. Chodzi o to ze w przykładach z liczba rzeczywistą przy obliczaniu kolejnych możliwych rozwiązań musimy to policzyć i tam bez "i"jest to łatwe. Co jednak gdy mamy podaną liczbę urojoną czy mam to osobno policzyć ze wzoru ? Jakby ktoś mógł mi to pokazać również na etapach np z2 i z3 jak to się będzie łączyć z $isin(\frac{2\pi}{3})$


tumor
postów: 8070
2015-09-16 10:47:06

Przemyśl sobie, CO MÓWI wzór de Moivre'a na pierwiastki liczby zespolonej

$\sqrt[n]{|z|(cos\phi+isin\phi)}=\sqrt[n]{|z|}(cos\frac{\phi+2k\pi}{n}+isin\frac{\phi+2k\pi}{n})$ dla $k=0,1,2,...,n-1$

to n różnych pierwiastków, ale różniących się tylko kątem (wielokrotnością $\frac{2\pi}{n}$)

Możesz przedstawić -27i w postaci trygonometrycznej $|27|(cos\frac{3\pi}{2}+isin\frac{3\pi}{2})$ i po prostu podstawić do wzoru.

Możesz też znaleźć jeden z pierwiastków "na oko", będzie to $3i$ (bo $(3i)^3=-27i$). Pozostałe dwa różnią się o kąt $\frac{2\pi}{3}$, czyli wystarczy wykonać mnożenie
$3i*(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})$
oraz
$3i*(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})^2$ by otrzymać pozostałe rozwiązania.
(Mnożenie przez liczbę zespoloną o module 1 nic nie robi poza zmianą kąta. To tak naprawdę zapis obrotu).

Gdy rozumiesz wzór de Moivre'a, to widzisz, że jeden z pierwiastków trzeciego stopnia z liczby $z$ ma zawsze kąt trzy razy mniejszy niż kąt liczby $z$. Skoro $-27i$ ma oczywisty kąt $\frac{3}{2}\pi$, to jeden z pierwiastków ma na pewno $\frac{1}{2}\pi$ (czyli jest równy $ai$ z dodatnim współczynnikiem $a$). Moduł pierwiastka trzeciego stopnia liczby $z$ jest pierwiastkiem trzeciego stopnia z modułu $z$. To wszystko jest napisane w tym wzorze, tylko trzeba go czytać ze zrozumieniem!


-----

Pytasz o metodę, jakbyś nie chciał rozumieć. Zrozum, skąd ten wzór się bierze, jakie wyniki daje, jak one wyglądają graficznie i jak algebraicznie.


sevastian1897
postów: 9
2015-09-16 13:17:11

Rozumiem już jak do tego doszło. "i" nie znika przy pierwiastkowaniu a resztę robię wzorem(myślałem że jest tutaj jakiś haczyk bo zadanie wydawało się strasznie łatwe). Tylko Robiłem dalej tak że każde kolejne rozwiązanie np z3 brałem podstawiając wynik z2 tak że wyglądało to tak:
$z_{3}=z_{2}*(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})$. Przywykłem do takiego sposobu.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 24 drukuj