logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Geometria, zadanie nr 3635

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sevastian1897
postów: 9
2015-09-17 14:03:50

Witam mam problem z kilkoma zadaniami

Zad1. Oblicz wysokość trójkąta o wierzchołkach A(3,5,-2),B(4,1,1) i C(-1,3,1) opuszczoną z wierzchołka C.

Robiłem to tak ze policzyłem wektory AB i AC pomnożyłem je wektorowo i wynik jeszcze podzieliłem przez$\frac{1}{2}$, aby otrzymać pole trójkąta. Następnie obliczając długość wektora AB podstawiłem do wzoru na pole trójkąta i wyliczyłem z tego wysokość która wyszła $\frac{\sqrt{497}}{\sqrt{26}}$. Czy ktoś mógłby sprawdzić czy wynik jest dobry i czy w mojej metodycy nic nie kuleje ?

Zad2. Wyznacz odcinek symetryczny do odcinka AB dla A(2,5,-1),B(3,-2,2) Wględem płaszczyzny $\pi:2x+y-3z+1=0$Nie mam pomysłu jak się za to zabrać z prostych i płaszczyzny jestem strasznie cienki

Z góry dziękuje każdemu za pomoc


janusz78
postów: 820
2015-09-17 19:53:20

Zad.1

$|P| = \frac{1}{2}|\vec{AB}\times \vec{AC}|.$

$|P|= \frac{1}{2}|(1,-4,3)\times (-4,-2,3)|=\frac{1}{2}||(-6,-15,-18)|= \frac{1}{2}\sqrt{(-6)^2+(-15)^2+(-18)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{585}.$

$|P|= \frac{1}{2}|\vec{AB}|\cdot||h_{c}|$

$|P|=\frac{1}{2}\sqrt{1^2+(-4)^2+3^2}\cdot |h_{c}|= \frac{1}{2}\sqrt{26}\cdot |h_{c}|.$

$ \frac{1}{2}\sqrt{585}=\frac{1}{2}\sqrt{26}\cdot |h_{c}|,$

$|h_{c}| = \frac{\sqrt{585}}{\sqrt{26}}=\sqrt{\frac{585}{26}}=\sqrt{22,5}.$

Wiadomość była modyfikowana 2015-09-17 20:03:35 przez janusz78

tumor
postów: 8070
2015-09-17 19:59:46

Metoda brzmi dobrze poza "podzieleniem przez $\frac{1}{2}$".
Rozumiem, że dzielisz przez 2? Nie?
Samo użycie iloczynu wektorowego jest ok.Obliczeń nie sprawdzam.

Pole trójkąta możesz uzyskać na przykład ze wzoru Herona, tą metodą sprawdzisz, czy dobrze je policzyłeś.

Można do zadania podejść inaczej. Za pomocą ortogonalizacji Grama-Schmidta można wyznaczyć składową wektora AC prostopadłą do wektora AB.
W ogóle polecam przemyśleć, jak działa ortogonalizacja G-S, czyli jak rozkłada wektor na składowe.
Bardzo przydatne narzędzie.


----


Jeśli posłuchasz mojej wskazówki, to za pomocą metody ortogonalizacji będziesz mógł rozwiązać też to zadanie.

Masz płaszczyznę $\pi$ w przestrzeni trójwymiarowej. Można ją zapisać w postaci kombinacji liniowej dwóch wektorów prostopadłych.
(Mówimy, że te wektory rozpinają płaszczyznę).

Możesz też znaleźć dowolne dwa wektory na płaszczyźnie, byle niezależne liniowo (czyli jeden nie ma być równy drugiemu mnożonemu przez liczbę).
By znaleźć takie dwa wektory wystarczy mieć trzy niewspółliniowe punkty na płaszczyźnie, czyli C,D,E, Na przykład CE i CD są wektorami rozpinającymi płaszczyznę, choć niekoniecznie są jeszcze prostopadłe.

Oprócz tego masz punkt A. Jeśli A jest na płaszczyźnie $\pi$ to sam jest swoim obrazem. Sprawdź, czy jest. Jeśli nie jest, to
pomyślmy o 3 wektorach:
CE, CD, CA

Ortogonalizacja G-S pierwszy wektor pozostawi bez zmiany.
Od drugiego wektora odejmie składową równoległą do pierwszego, zostawiając składową prostopadłą do pierwszego.
Czyli będziesz mieć 2 wektory prostopadłe rozpinające płaszczyznę.
Wreszcie stosując metodę do trzeciego wektora odejmiemy od niego składowe równoległe do pierwszych dwóch. Zostanie zatem tylko składowa prostopadła, czyli opisująca odległość z A do płaszczyzny $\pi$.

Jeśli ten ostatni wektor uzyskany z metody G-S nazwiemy v, to
$A`=A-2*v$.


---

Możesz też użyć wektora normalnego płaszczyzny. Jego współrzędne masz za darmo, bo to $\vec{n}=[2,1,-3]$ (wzięte z równania płaszczyzny).
Jednakże teraz trzeba ten wektor odpowiednio domnożyć przez skalar. Wiemy już, że jest on prostopadły do płaszczyzny, ale musimy odpowiednio go przeskalować.

Wiemy, że $A+\alpha [2,1,-3] \in \pi$.
Stąd (skoro znamy A i $\pi$) wyliczamy $\alpha.$

Wówczas $A`=A+2*\alpha \vec{n}$

---

Metoda ortogonalizacji liczy niepotrzebnie parę rzeczy, ale dostajemy wektor prostopadły odpowiedniej długości.
Metoda za pomocą wektora normalnego wymaga doliczenia, jakąś to długość mieć powinien.




janusz78
postów: 820
2015-09-17 21:11:17

Można też znaleźć środki symetrii $P_{A}, P_{B}$ punktów A,B jako współrzędne punktów "przebicia" płaszczyzny $\pi$ prostymi prostopadłymi i przechodzącymi przez punkty $ A ,B.$

Mając współrzędne $ P_{A}, P_{B}$ , znajdujemy współrzędne $ A', B'$ - końce odcinków $\overline{AA'}, \overline{BB'}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 19 drukuj