logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3637

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

axeleczek
postów: 5
2015-09-23 23:26:45

Witam, natrafiłem na dosyć ciekawe równanie różniczkowe, mianowicie:

$y'+2sin(2x)y+e ^{cos2x}*ln|x^{2}+9|=0$

Zacząłem przez rozdzielenie zmiennych, później uzmiennianie stałej

$y'+2sin(2x)y=0$
Doszedłem do rozwiązania
$C(x)= \int-e ^{cos2x}*e ^{cos2x}*ln|x^{2}+9|$
$C(x)= -\int e^{2cos2x}*ln|x^{2}+9|$

I ta całka wydaję mi się kosmiczna.
Próbowałem przez części $u= e^{2cos2x}$ i $v'= ln|x^{2}+9|$
Wydaję mi się że tą całkę $v'= ln|x^{2}+9|$ trzeba znowu przez części
$u= ln|x^{2}+9|$
i $v'=dx$
$u'= \frac{2x}{x^{2}+9}$
i $v=x$
Wtedy $\int ln|x^{2}+9|=xln|x^{2}+9|- \int \frac{2x^{2}}{x^{2}+9}$
I jeszcze raz trzeba obliczyć, tym razem przez czynniki$2\int \frac{x^{2}}{x^{2}+9}$


Ostatecznie $\int ln|x^{2}+9|=xln|x^{2}+9|-2[ \frac{1}{6}ln|x-3|- \frac{1}{6}ln|x+3|]$
I jeżeli t całkę musiałbym wstawić do pierwszego podstawienia przez części to rozwiązanie zajęłoby z kilka stron i byłoby bardzo skomplikowane... Czy jest inny sposób na tą różniczkę, czy po prostu ten przykład jest taki "dziwny" ?


tumor
postów: 8070
2015-09-24 07:56:43

IMO
$ \frac{dy}{y}=-2sin2xdx$
$ln|y|=cos2x+c_1$
$y=c_2e^{cos2x}$
$y=c(x)e^{cos2x}$
Wobec tego
$y`=c`(x)e^{cos2x}+c(x)e^{cos2x}(-2sin2x)$

Dostajemy
$c`(x)e^{cos2x}=-e^{cos2x}ln|x^2+9|$
wobec czego
$c`(x)=-ln|x^2+9|$
$c(x)=-xln|x^2+9|+2x-6arctg(\frac{x}{3})$




axeleczek
postów: 5
2015-09-30 19:30:51

Dziękuję bardzo za pomoc, bardzo mi pomogłeś :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 17 drukuj