Analiza matematyczna, zadanie nr 3637

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
axeleczek postów: 5	2015-09-23 23:26:45 Witam, natrafiłem na dosyć ciekawe równanie różniczkowe, mianowicie: $y'+2sin(2x)y+e ^{cos2x}ln\|x^{2}+9\|=0$ Zacząłem przez rozdzielenie zmiennych, później uzmiennianie stałej $y'+2sin(2x)y=0$ Doszedłem do rozwiązania $C(x)= \int-e ^{cos2x}e ^{cos2x}ln\|x^{2}+9\|$ $C(x)= -\int e^{2cos2x}ln\|x^{2}+9\|$ I ta całka wydaję mi się kosmiczna. Próbowałem przez części $u= e^{2cos2x}$ i $v'= ln\|x^{2}+9\|$ Wydaję mi się że tą całkę $v'= ln\|x^{2}+9\|$ trzeba znowu przez części $u= ln\|x^{2}+9\|$ i $v'=dx$ $u'= \frac{2x}{x^{2}+9}$ i $v=x$ Wtedy $\int ln\|x^{2}+9\|=xln\|x^{2}+9\|- \int \frac{2x^{2}}{x^{2}+9}$ I jeszcze raz trzeba obliczyć, tym razem przez czynniki$2\int \frac{x^{2}}{x^{2}+9}$ Ostatecznie $\int ln\|x^{2}+9\|=xln\|x^{2}+9\|-2[ \frac{1}{6}ln\|x-3\|- \frac{1}{6}ln\|x+3\|]$ I jeżeli t całkę musiałbym wstawić do pierwszego podstawienia przez części to rozwiązanie zajęłoby z kilka stron i byłoby bardzo skomplikowane... Czy jest inny sposób na tą różniczkę, czy po prostu ten przykład jest taki "dziwny" ?

tumor postów: 8070	2015-09-24 07:56:43 IMO $ \frac{dy}{y}=-2sin2xdx$ $ln\|y\|=cos2x+c_1$ $y=c_2e^{cos2x}$ $y=c(x)e^{cos2x}$ Wobec tego $y`=c`(x)e^{cos2x}+c(x)e^{cos2x}(-2sin2x)$ Dostajemy $c`(x)e^{cos2x}=-e^{cos2x}ln\|x^2+9\|$ wobec czego $c`(x)=-ln\|x^2+9\|$ $c(x)=-xln\|x^2+9\|+2x-6arctg(\frac{x}{3})$

axeleczek postów: 5	2015-09-30 19:30:51 Dziękuję bardzo za pomoc, bardzo mi pomogłeś :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj