Analiza matematyczna, zadanie nr 3655

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
brightnesss postów: 113	2015-10-06 21:52:16 Witam, mam problem ze zrobieniem dowodu indukcyjnego dla nierówności: n $\in$N n$^{3}\le$3$^{n}$ Z gory dziekuje za pomoc. Wiadomość była modyfikowana 2015-10-07 06:31:16 przez brightnesss

tumor postów: 8070	2015-10-06 22:51:26 Słoneczko, a jak Cię uczono dowodzić nieprawdy? Weźmy jakąś dużą liczbę $k$, do tego $n=k^3$, oraz $x=\frac{1}{k}$ Wtedy $nx^3=1$, natomiast $3x^n=\frac{3}{k^{k^3}}<1$ dla $k=2,3,...$ widzimy tu, że dla odpowiednio dużych (choć nawet bardzo niewielkich) k nierówność prawdziwa nie jest.

brightnesss postów: 113	2015-10-07 06:30:39 Teraz patrze, że tam wkradł się błąd. Nie powinno być tego x. Przepraszam, juz poprawiam.

tumor postów: 8070	2015-10-07 07:54:24 1) dla $n=1$ mamy $1^3\le 3^1$ działa. Dla ułatwienia sobie życia policzymy jeszcze $2^3\le 3^2$ $3^3\le 3^3$ i od tego miejsca sobie policzymy dopiero dalej. 2) Jeśli dla pewnego $n\ge 3$ mamy $n^3\le 3^n$, to mamy $3n^2\le n^3$ $3n+1\le n^3$, wobec tego dla $n+1$ będzie $(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1\le n^3+n^3+n^3=3n^3\le 3*3^n=3^{n+1}$ --- Drobne uwagi. Zaczęliśmy z $n=1$, ale nierówność po poprawce jest prawdziwa także dla $n=0$ oraz dla dowolnego $n$ całkowitego ujemnego. Po drugie w prostszych dowodach wykonujemy dwa kroki, tutaj wygodniej było policzyć nieco więcej w kroku pierwszym, bo wtedy mogliśmy skorzystać z nierówności $3n^2\le n^3$ $3n+1\le n^3$ z których nie moglibyśmy korzystać dla n=1 lub n=2, ale możemy dla większych. Wobec tego przypadki do n=3 liczymy ręcznie, a dopiero od tego miejsca załatwiamy rzecz indukcyjnie.

brightnesss postów: 113	2015-10-07 17:04:45 Dziękuję za pomoc.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj