Inne, zadanie nr 3658

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mlody postów: 15	2015-10-08 21:01:10 prosze o pomoc w rozwiazaniu 1. Wyznacz i narysuj zbiór A, gdzie $A={{z\in C:Re(1+iz^{2}<=3}}$ 2. Rozwiąż równanie $z^2 - (1+4i)z - 3 + 2i=0$ 3. Zbadaj zbieżność ciągu $z_{n}=\frac{n+i}{2in-1}+\frac{in}{n^{2+1}}$] 4. Wyznacz promień zbieżności szeregu $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+i^{n}}{ie^{n}}(z+i)^{n}$

tumor postów: 8070	2015-10-08 21:31:42 1. Oznaczmy liczbę $z=a+bi.$ Wtedy $Re(1+iz^2)=Re(1+i(a^2+2abi-b^2))=1-2ab$ Mamy $1-2ab\le 3$ $-2ab\le 2$ $ab\ge -1$ wzór ab=-1 określałby dwie gałęzie hiperboli (łatwo sobie narysować). Hiperbola dzieli nam płaszczyznę na trzy obszary. Zastanów się, w których obszarach punkty spełniają nierówność $ab\ge -1$

tumor postów: 8070	2015-10-08 21:37:24 2. Równania kwadratowe zespolone rozwiązujemy dokładnie tak, jak równania kwadratowe rzeczywiste w liceum. I tak $\Delta=(1+4i)^2-4(-3+2i)=-15+8i+12-8i=-3$ $\sqrt{\Delta}=i\sqrt{3}$ (tu jest jeden z możliwych pierwiastków) $z_1=\frac{1+4i-i\sqrt{3}}{2}$ $z_2=\frac{1+4i+i\sqrt{3}}{2}$ Jedyna różnica to liczenie pierwiastka z dowolnej $\Delta$, także ujemnej czy zespolonej.

tumor postów: 8070	2015-10-08 21:51:00 3. Robisz literówki w stosunku do wyjściowych zadań. $ \frac{n+i}{2in-1}+\frac{in}{n^2+1}$ Możemy rozdzielić cześć rzeczywistą i urojoną. $\frac{n+i}{2in-1}+\frac{in}{n^2+1}= \frac{n+i}{2in-1}*\frac{2in+1}{2in+1}+\frac{in}{n^2+1}= \frac{2in^2-2n+n+i}{-4n^2-1}+\frac{in}{n^2+1}= \frac{i(2n^2+1)-n}{-4n^2-1}+\frac{i(n)}{n^2+1}= \frac{n}{4n^2+1}+i(\frac{2n^2+1}{-4n^2-1}+\frac{n}{n^2+1}) $ co daje dość oczywistą granicę $-\frac{1}{2}i$ Możemy też bez rozdzielania $\frac{n+i}{2in-1}+\frac{in}{n^2+1}=\frac{\frac{n}{n}+\frac{i}{n}}{\frac{2in}{n}-\frac{1}{n}}+\frac{\frac{in}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{1}{n^2}}\to \frac{1+0}{2i-0}+\frac{0}{1+0}=\frac{1}{2i}=-\frac{1}{2}i$

tumor postów: 8070	2015-10-08 21:59:54 4. Policzmy $\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{\|\frac{n+i^n}{ie^n}\|}=\frac{1}{e}=\frac{1}{r}$, stąd $r=e$ Do tego środek koła zbieżności to $-i$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj