Analiza matematyczna, zadanie nr 3660

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
adrianna postów: 21	2015-10-10 16:11:54 Wyznaczyć $\sigma$-ciało generowane przez rodzinę żłożoną z n różnych właściwych podzbiorów zbioru X.

tumor postów: 8070	2015-10-10 18:50:27 Niecha $A_i, 1\le i \le n$ będą tymi właściwymi podzbiorami X. Można tę rodzinę opisać na wiele sposobów. Można zauważyć, że te podzbiory opisują podział (za pomocą relacji równoważności $ xRy \iff \forall_{0<i\le n}(x\in A_i \iff y\in A_i)$ ). $\sigma$-ciało to wówczas rodzina wszystkich (skończonych) sum elementów tego podziału (sumując zero elementów uzyskamy $\emptyset$) Jeśli rozważymy rodzinę wszystkich n-elementowych ciągów zerojedynkowych $a\in \{0,1\}^n$, to można stworzyć rodzinę $P$, której elementy mają postać $A_1^{a_1}\cap A_1^{a_1}\cap ... \cap A_n^{a_n}$ gdzie $A_i^{a_i}=A_i$ gdy $a_i=1$ oraz $A_i^{a_i}=A_i^,$ gdy $a_i=0$ dla każdego ciągu $a=a_1,...,a_n\in \{0,1\}^n$. Rodzina $P$ jest tym samym zbiorem który uzyskaliśmy w pierwszym rozwiązaniu. Dalej postępujemy podobnie. Możemy indukcyjnie. $\{X,\emptyset\}$ jest $\sigma$-ciałem. Jeśli teraz pewna skończona rodzina $R$ jest $\sigma$-ciałem, natomiast $R_i$ jest rodziną zbiorów postaci $C\cap A_i, C\cap A_i^,, C\cup A_i, C\cup A_i^`$ dla wszystkich $C\in R$, to $R\cup R_i$ jest $\sigma$-ciałem. Ogólnie, z definicji, chodzi w każdym przypadku o $\sigma$-ciało najmniejsze w sensie relacji inkluzji, którego elementami są wszystkie zbiory $A_i$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj