Analiza matematyczna, zadanie nr 3666

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mathstu postów: 2	2015-10-11 23:52:49 Witam. Napotkałem na pewien problem z rozwiązaniem zadania z analizy matematycznej dotyczący granicy ciągu. Treść zadania jest następująca: Wyznacz granicę ciągu u_{n} = \frac{1^{2}+2^{2}+...+n^{2}}{n^{3}}. Sugeruj się wzorem: 1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2} Mam kilkanaście zadań tego typu i w każdym mam się sugerować innym wzorem, dlatego proszę o dokładne wytłumaczenie (krok po kroku) co i dlaczego należy zrobić akurat w tym przypadku, a ja postaram się załapać jakąś analogię i rozwiązać kolejne.

mathstu postów: 2	2015-10-11 23:54:38 Poprawka: $ u_{n} = \frac{1^{2}+2^{2}+...+n^{2}}{n^{3}}. $ WZÓR: $1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$

tumor postów: 8070	2015-10-12 09:06:53 Gdy dodajesz i-te potęgi kolejnych liczb naturalnych 1,2,...,n, to wynik jest wielomianem stopnia i+1. Na pewno $1^i+2^i+3^i+...+n^i=a_0+a_1n+a_2n^2+...+a_in^i+a_{i+1}n^{i+1}$ Dlatego na przykład $1^2+2^2+3^2+...+n^2=a_0+a_1n+a_2n^2+a_3n^3$ Wystarczy policzyć współczynniki a_0,a_1,a_2,a_3, a liczymy je w ten sposób, że podstawiamy za n jakieś proste liczby (sugeruję 1,2,3,4). I tak $1^2=a_0+a_1+a_2+a_3$ $1^2+2^2=a_0+2a_1+4a_2+8a_3$ $1^2+2^2+3^2=a_0+3a_1+9a_2+27a_3$ $1^2+2^2+3^2+4^2=a_0+4a_1+16a_2+64a_3$ Dostajesz układ czterech niewiadomych, który jednak nietrudno policzyć. Gdy pierwsze równanie odejmiemy od pozostałych, będzie $1=a_0+a_1+a_2+a_3$ $4=a_1+3a_2+7a_3$ $13=2a_1+8a_2+26a_3$ $29=3a_1+15a_2+63a_3$ Teraz drugie od pozostałych $-3=a_0-2a_2-6a_3$ $4=a_1+3a_2+7a_3$ $5=2a_2+12a_3$ $17=6a_2+42a_3$ i trzecie od pozostałych $2=a_0+6a_3$ $-3,5=a_1-11a_3$ $5=2a_2+12a_3$ $2=6a_3$ a więc $a_3=\frac{2}{6}$ $a_2=\frac{3}{6}$ $a_1=\frac{1}{6}$ $a_0=0$ czyli $1^2+2^2+3^2+...n^2=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}$ ----- Uwaga. Sumowanie od 0, czyli $0^2+1^2+...$ mogłoby nieco ułatwić układ. ----- Ale to wyżej to była taka metoda dość elementarna, no i wymagała wiedzy, że wynikiem będzie wielomian. Teraz zadanie rozwiążemy nieco sprytniej. Zauważmy, że $\sum_{k=0}^n(k+1)^{i+1}- \sum_{k=0}^n(k)^{i+1}=(n+1)^{i+1}$ czyli $(n+1)^{i+1}+\sum_{k=0}^n(k)^{i+1}=\sum_{k=0}^n(k+1)^{i+1}$ przy tym $(k+1)^{i+1}=\sum_{j=0}^{i+1}{{i+1} \choose j}k^j$ po podstawieniu $(n+1)^{i+1}+\sum_{k=0}^n(k)^{i+1}=\sum_{k=0}^n\sum_{j=0}^{i+1}{{i+1} \choose j}k^j$ Przy tym interesować nas tu będą w tej chwili wysokie potęgi k, czyli rozpiszmy sobie: $(n+1)^{i+1}+\sum_{k=0}^n(k)^{i+1}=\sum_{k=0}^n(k^{i+1}+(i+1)k^i+\frac{i(i+1)}{2}k^{i-1}+\sum_{j=0}^{i-2}{{i+1} \choose j}k^j)$ Stąd $(n+1)^{i+1}=\sum_{k=0}^n((i+1)k^i+\frac{i(i+1)}{2}k^{i-1}+\sum_{j=0}^{i-2}{{i+1} \choose j}k^j)$ Wynik jest prześliczny, tylko sobie zinterpretujemy, co mówi. Podano Ci na zajęciach wzór, mówiący, że $\sum_{k=0}^nk=\frac{n(n+1)}{2}$. Będę używał zapisu $\frac{n(n+1)}{2} \approx \frac{n^2}{2}$ na oznaczenie, że w granicy te dwa wielomiany zachowują się identycznie, ważny jest tylko współczynnik przy najwyższej potędze, a reszta jest zaniedbywalna. Podstawiając do powyższego wzoru $i=2$ dostaniemy $(n+1)^{3}=\sum_{k=0}^n((3)k^2+3k^{1})=3(\sum_{k=0}^nk^2+\sum_{k=0}^nk)$ stąd $\sum_{k=0}^nk^2=\frac{(n+1)^3}{3}-\sum_{k=0}^nk \approx \frac{n^3}{3}$ Czyli granica $\lim_{n \to \infty}\frac{\sum_{k=0}^nk^2}{n^3}= \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n^3}{3}}{n^3}=\frac{1}{3}$ Ale dostaliśmy przecież wynik ogólny. Mamy $(n+1)^{i+1}=\sum_{k=0}^n((i+1)k^i+\frac{i(i+1)}{2}k^{i-1}+\sum_{j=0}^{i-2}{{i+1} \choose j}k^j)$ czyli $\sum_{k=0}^n(i+1)k^i=(n+1)^{i+1}-\sum_{k=0}^n(\frac{i(i+1)}{2}k^{i-1}+\sum_{j=0}^{i-2}{{i+1} \choose j}k^j)$ wiemy, że sumą pierwszych potęg jest wielomian drugiego stopnia, zatem indukcyjnie dostajemy wniosek, że sumą potęg z wykładnikiem (i-1) jest wielomian i-tego stopnia, jest on zatem zaniedbywalny w granicy, czyli $\sum_{k=0}^n(i+1)k^i\approx (n+1)^{i+1} \approx n^{i+1}$ czyli $\sum_{k=0}^nk^i \approx \frac{n^{i+1}}{i+1}$ wobec czego $\lim_{n \to \infty}\frac{1^i+2^i+3^i+...+n^i}{n^{i+1}}=\frac{1}{i+1}$ W wielu miejscach przybliżałem wynik obcinając część nieistotną w granicy. Natomiast przy użyciu powyższego rozwiązania można też uzyskać wszystkie współczynniki odpowiednich wielomianów, przy czym wadą rozwiązania rekurencyjnego jest potrzeba posiadania rozwiązań dla 1,...,i, by podać rozwiązanie dla i+1. Wiadomość była modyfikowana 2015-10-26 21:23:00 przez tumor

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj