Algebra, zadanie nr 3667

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
justa2609 postów: 3	2015-10-13 21:33:58 Wiadomość była modyfikowana 2015-10-13 21:38:25 przez justa2609

justa2609 postów: 3	2015-10-13 21:37:59 Proszę o pomoc w rozwiązaniu następujących równań a)$x<\frac{1}{x}$ b)$x^{2}>\frac{1}{x}$ c)$1+\frac{2}{x-1}<(lub równe)\frac{6}{x}$ d)$\frac{5-x}{x}>(lub równe)\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}$ e)$\frac{x^{2}-5x+12}{x^{2}-4x+5}>3$ Wiadomość była modyfikowana 2015-10-13 21:39:10 przez justa2609

tumor postów: 8070	2015-10-13 21:48:42 To nierówności, poza tym odpowiednie symbole nierówności masz wśród przycisków po lewej stronie. a) $x<\frac{1}{x}$ $x\neq 0$ Można rozwiązać w głowie. Można też pomnożyć obie strony przez $x^2$, będzie $x^3<x$. $x^3-x<0$ $x(x^2-1)<0$ $x_1=0, x_2=-1, x_3=1$ rysujemy wykres od prawej od góry, przy czym funkcja ma miejsca zerowe $1, 0, -1$. Odczytujemy rozwiązanie z wykresu. $x\in (-\infty,-1)\cup (0,1)$ b) podobnie jak wcześniej, choć pierwiastkowanie będzie nieco bardziej skomplikowane, spróbuj. Ogólnie w nierównościach, jeśli pojawia się mianownik, to - można przez niego pomnożyć, jeśli jest na pewno dodatni, albo jeśli jest na pewno ujemny (ta druga opcja zmienia znak nierówności). - jeśli nie wiemy, czy ten mianownik przyjmuje wartości ujemne czy dodatnie (na przykład gdy zawiera niewiadomą), to możemy pomnożyć przez kwadrat mianownika c) d) e) w każdym z przypadków zacznij od pomnożenia przez odpowiedni mianownik (jeśli wiesz, czy jest dodatni czy ujemny), albo przez kwadrat mianownika (jeśli nie wiesz). Przy tym w e) zwracam uwagę na $\Delta$ w mianowniku. Coś mówi. A jak już coś zaczniesz robić i rozumieć, to najwyżej wytłumaczę, co dalej robić, jeśli gdzieś staniesz.

justa2609 postów: 3	2015-10-13 22:00:34 a czy mógłbyś mi wytłumaczyć dokładnie te przykłady z rozwiązaniem bo ja nigdy nie miałam styczności z nierównościami wielomianowymi ponieważ nie miałam matematyki rozszerzonej i na razie nie ogarniam tego tematu. Chciałabym go zrozumieć.

tumor postów: 8070	2015-10-13 23:10:01 Wszystkich nie, bo się je robi identycznie. Ale mogę wyjaśnić, o co chodzi. Najpierw trochę rzeczy, które miałaś. Gdy liczyłaś w szkole nierówności kwadratowe $ax^2+bx+c<0$ to najpierw liczyłaś rozwiązania $x_1, x_2$ (załóżmy, że używamy tych wzorów dla każdej $\Delta\ge 0$). Oczywiście jeśli $\Delta=0$, to $x_1=x_2$ (przy tym w szkole się czasem pisze na to $x_0$, ale my nie będziemy tak oznaczać). Następnie rysowało się wykres. Załóżmy, że ktoś lubi rysować wykres od prawej strony. Jeśli a>0, to zaczynamy od prawej i od góry. Jeśli $x_1$ i $x_2$ to różne liczby, to przechodzimy przez oś na drugą stronę w jednym miejscu zerowym, a potem wracamy do góry w drugim miejscu zerowym. I ramiona paraboli wychodzą w górę. Jeśli a<0, to rzecz jest podobna, tylko zaczynamy rysować ramię na dole. Potem z wykresu odczytujesz odpowiedź, prawda? Jeśli teraz masz do czynienia z dowolnym wielomianem, to najpierw znajdujesz miejsca zerowe. Zrobimy może d) $\frac{5-x}{x}\ge \frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}$ Tu zaczynamy od założeń, mianowniki nie mogą być zerami, czyli $x\neq 0$. Następnie pomnożymy obie strony przez $x^2$. Nie wiemy, jaki znak ma $x$, ale na pewno $x^2$ jest liczbą dodatnią, zatem mnożenie przez niego nie zmienia znaku nierówności. $3x-x^2\ge 2x+1$ $-x^2+x-1\ge 0$ najpierw szukamy miejsc zerowych, czyli rozwiązujemy $-x^2+x-1\ge 0$ O widzisz. Tu mamy ujemną $\Delta$, nic nie wyjdzie. Teraz rysujemy wykres. $a<0$, czyli rysujemy od prawej od dołu, potem nie dochodzimy do osi i wracamy na dół. Ramiona paraboli w dół. Brak miejsc zerowych. Wartości nigdy nie są większe ani równe 0. wróćmy do rozwiązania a) $x<\frac{1}{x}$ mnożymy przez $x^2$ $x^3\le x$ $x^3-x\le 0$ Rozwiązujemy $x^3-x=0$ akurat tu wystarcza wyłączyć x przed nawias $x(x^2-1)=0$ i przyrównać czynniki do zera $x_1=0$ $x^2-1=0$ $x_2=1$ $x_3=-1$. Współczynnik przy najwyższej potędze ($x^3$) w naszym równaniu był równy 1, czyli był dodatni. Zatem wykres rysujemy od prawej od góry. Jeśli rozwiązanie równania $(0,-1,1)$ jest jednokrotne (czyli rozwiązania się nie powtarzają), albo nieparzystej krotności (czyli jakieś rozwiązanie jest trzykrotne, pięciokrotne), to tam przechodzimy rysując wykres na drugą stronę osi. Jeśli jakieś rozwiązanie jest dwukrotne, czterokrotne, ogólnie parzystej krotności, to dotykamy osi, ale nie przebijamy się na drugą stronę (wracamy tak jak parabola, która styka się tylko z osią, gdy $x_1=x_2$, czyli gdy rozwiązanie jest dwukrotne). (Na przykład równanie $x^2(x-3)^5=0$ ma rozwiązania x=0 dwukrotnie i x=3 pięciokrotnie). Sztuka zatem dobrze narysować wykres. Zawsze od prawej. Jeśli współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, to rysujemy od góry. Inaczej od dołu. Natomiast to, czy w jakimś miejscu zerowym przetniemy oś i przejdziemy na drugą jej stronę, czy też zetkniemy się tylko z osią i wrócimy na tę samą stronę, zależy od krotności rozwiązania. W przykładzie a) każde rozwiązanie jest jednokrotne, wykresem jest taki wąż przechodzący przez oś w -1, 0 i 1. Narysuj i przemyśl. ------- Zakładam, że umiesz równania wielomianowe i nierówności kwadratowe, bo to podstawa maturalna. Nierówności wielomianowe są połączeniem jednego i drugiego. Tak samo najpierw rozwiązujemy równanie, potem rysujemy wykres. Tak samo możemy albo mieć wykres przecinający oś ox, albo tylko styczny do tej osi. Gdy go narysujemy, odczytanie rozwiązania jest identycznej jak przy nierównościach kwadratowych. Jeśli chcesz się tego nauczyć, zrób kilka prostych przykładów samodzielnie. Jeśli wpiszesz rozwiązania na forum, to ktoś sprawdzi.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj