Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 3674

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
axeleczek postów: 5	2015-10-14 20:49:09 Witam mam problem z pewną całką $\int \frac{sinx(cos^3x+sin^2x-2)}{(1+cos^2x)^2}dx$ Z sinusów $sin^2=1-cos^2$ $\int \frac{sinx(cos^3x+1-cos^2-2)}{(1+cos^2x)^2}dx$ Podstawienie $t=cosx dt=-sinxdx$ $-\int \frac{t^3-t^2-1}{(1+t^2)^2}$ Teraz przez schemat całek wymiernych $\frac{t^3-t^2-1}{(1+t^2)^2}=\frac{At+B}{1+t^2}\frac{Ct+D}{1+t^2}$ Mnożymy obustronnie przez $/* (1+t^2)^2$ $t^3-t^2-1=At^3+At+Bt^2+B+Ct^3+Ct+Dt^2+D$ Teraz układ równań dla współczynników $1=A+C\cdots -1=B+D\cdots 0=C+D\cdots -1=B+D\cdots $ $A+C=0\cdots A+C=1 \cdots 0=1$ Ten układ jest sprzeczny !! Więc współczynniki by nie istniały, skoro brak rozwiązań. Nawet wolfram tak pokazuje Próbowałem też rozbijać całkę $-\int \frac{t^3-t^2-1}{(1+t^2)^2}$ na części czy podstawienie ale nie było szans. Więc tej całki nie da się rozwiązać ? Czy da ale innym sposobem, tylko ciężko inny skoro to całka wymierna.

janusz78 postów: 820	2015-10-14 21:34:01 Przedstawienie funkcji podcałkowej w postaci sumy ułamków prostych $ \frac{t^3-t^2-1}{(1+t^2)^2}= \frac{At +B}{(1+t^2)^2}+ \frac{Ct +E}{1+t^2}$ Teraz oblicz współczynniki A,B,C,D.

tumor postów: 8070	2015-10-14 21:56:13 Można też bez męczenia się z układem równań. $\frac{t^3-t^2-1}{(1+t^2)^2}= \frac{t^3+t-t-(t^2+1)}{(1+t^2)^2}= \frac{t}{1+t^2}-\frac{t}{(1+t^2)^2}-\frac{1}{1+t^2}$ a te trzy wyrażenia łatwo całkować. Pierwsze i drugie podstawiając $t^2+1=u$, trzecie to $arctgt$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj