Analiza matematyczna, zadanie nr 3684

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
sudent1234 postów: 15	2015-10-18 18:48:13 Udowodnić, że dla dowolnych liczb a i b zachodzi nierówność: 2^a>(a/b)^b Polecono mi, zeby zrobić indukcyjnie np, dla a a potem dla b, ale nie wiem jak się za to zabrać. Czyktoś pomoże? Z góry dziękuję!

tumor postów: 8070	2015-10-18 19:25:31 po pierwsze nie dla dowolnych, bo mamy dzielenie przez b, czyli b nie jest zerem. Ponadto dla pewnych a,b prawa strona jest liczbą zespoloną. Dopiero wskazówka z indukcją każe przypuszczać, że może zadanie mówi o liczbach naturalnych. Dla x rzeczywistych zachodzi $2^x>x$ $2^\frac{a}{b}> \frac{a}{b}$ $2^a > (\frac{a}{b})^b$ Pierwszą użytą nierówność łatwo udowodnić metodami analizy matematycznej (na przykład znajdując minimum funkcji $2^x-x$)

sudent1234 postów: 15	2015-10-18 19:45:07 Tak, miały być liczby naturalne. Na studiach nie robiliśmy jeszcze minimum ani liczb zespolonych, znana jest tylko indukcja i to nią trzeba rozwiązać to zadanie. Podobno trzeba zastosować podwójną indukcję, ale nie wiem jak zacząć. Dla b=1 $2^{a}>a$ - prawda Dla b+1: $(\frac{a}{b+1})^{b+1}$ i co dalej?

tumor postów: 8070	2015-10-18 21:25:17 Najpierw możemy zauważyć, że $2^n>n $ Jest to prawda dla n=1, natomiast $2^{n+1}=2*2^n>2n\ge n+1 $ (tu rzeczywiście użyliśmy indukcji) Skoro $2^n$ oraz n są całkowite, to także $2^n\ge n+1 $ jeśli $b\ge a$ to nierówność $2^a> (\frac{a}{b})^b$ chyba nie jest dziwna, prawa strona to najwyżej 1, a lewa to więcej niż 1. Przyjmijmy, że dla pewnego $n>1$ naturalnego jest $nb\ge a>(n-1)b $ wtedy $2^a>2^{(n-1)b}=(2^{n-1})^b\ge (n)^b=(\frac{nb}{b})^b\ge (\frac{a}{b})^b$

sudent1234 postów: 15	2015-10-18 21:59:49 Bardzo dziękuję

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj