Analiza matematyczna, zadanie nr 3684
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
sudent1234 post贸w: 15 |  2015-10-18 18:48:13Udowodni膰, 偶e dla dowolnych liczb a i b zachodzi nier贸wno艣膰: 2^a>(a/b)^b Polecono mi, zeby zrobi膰 indukcyjnie np, dla a a potem dla b, ale nie wiem jak si臋 za to zabra膰. Czykto艣 pomo偶e? Z g贸ry dzi臋kuj臋! |
tumor post贸w: 8070 | 2015-10-18 19:25:31 po pierwsze nie dla dowolnych, bo mamy dzielenie przez b, czyli b nie jest zerem. Ponadto dla pewnych a,b prawa strona jest liczb膮 zespolon膮. Dopiero wskaz贸wka z indukcj膮 ka偶e przypuszcza膰, 偶e mo偶e zadanie m贸wi o liczbach naturalnych. Dla x rzeczywistych zachodzi $2^x>x$ $2^\frac{a}{b}> \frac{a}{b}$ $2^a > (\frac{a}{b})^b$ Pierwsz膮 u偶yt膮 nier贸wno艣膰 艂atwo udowodni膰 metodami analizy matematycznej (na przyk艂ad znajduj膮c minimum funkcji $2^x-x$) |
sudent1234 post贸w: 15 | 2015-10-18 19:45:07 Tak, mia艂y by膰 liczby naturalne. Na studiach nie robili艣my jeszcze minimum ani liczb zespolonych, znana jest tylko indukcja i to ni膮 trzeba rozwi膮za膰 to zadanie. Podobno trzeba zastosowa膰 podw贸jn膮 indukcj臋, ale nie wiem jak zacz膮膰. Dla b=1 $2^{a}>a$ - prawda Dla b+1: $(\frac{a}{b+1})^{b+1}$ i co dalej? |
tumor post贸w: 8070 | 2015-10-18 21:25:17 Najpierw mo偶emy zauwa偶y膰, 偶e $2^n>n $ Jest to prawda dla n=1, natomiast $2^{n+1}=2*2^n>2n\ge n+1 $ (tu rzeczywi艣cie u偶yli艣my indukcji) Skoro $2^n$ oraz n s膮 ca艂kowite, to tak偶e $2^n\ge n+1 $ je艣li $b\ge a$ to nier贸wno艣膰 $2^a> (\frac{a}{b})^b$ chyba nie jest dziwna, prawa strona to najwy偶ej 1, a lewa to wi臋cej ni偶 1. Przyjmijmy, 偶e dla pewnego $n>1$ naturalnego jest $nb\ge a>(n-1)b $ wtedy $2^a>2^{(n-1)b}=(2^{n-1})^b\ge (n)^b=(\frac{nb}{b})^b\ge (\frac{a}{b})^b$ |
sudent1234 post贸w: 15 | 2015-10-18 21:59:49 Bardzo dzi臋kuj臋 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj