Inne, zadanie nr 3688

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
student113 postów: 156	2015-10-19 16:32:56 Zadanie. Rozwiązać nierówność: a. $\frac{1}{\|x-2\|}>\frac{1}{1+\|x-1\|} $ Problem polega na tym że nie wiem co zrobić z wartością bezwzględną w mianowniku. b. $\frac{\|x\|-1}{x^2-1}\ge\frac{1}{2} $ Tutaj też nie jestem pewien co zrobić. Proszę o pomoc.

janusz78 postów: 820	2015-10-19 18:37:23 a) $ x\in R-\left\{2\right\}$ Korzystając z definicji wartości bezwzględnej $ \|x-1\|= \begin{cases} -(x-1) \mbox{dla} x<1\\ (x-1) \mbox{dla} x\geq 1.\end{cases}$ $ \|x-2\|= \begin{cases} -(x-2) \ \ \mbox{dla} x<2\\ (x-2) \mbox{dla} x>2 \end{cases}$ Rozpatrujesz nierówność w przedziałach $(-\infty,1), \ \ \langle 1,\ \ 2), \ \ (2, \infty).$ b) podobnie, uwzględniając, że $ x\in R-\left\{-1, 1\right\}$ oraz $ \|x\| = \begin{cases} -x \ \ \mbox{dla} x<0 \\ x \mbox{dla} x>0 \end{cases}.$

student113 postów: 156	2015-10-19 20:45:46 Interesuje mnie to czy mam przekształcić to wyrażenie do postaci np. x+... > 0. a) to znaczy czy mogę to zapisać tak: $1+\|x-1\| > \|x-2\|$ (pomnożyłem to na krzyż) Czy mogę to tak zrobić? Czy nie zmieni się znak? b) tak samo, czy mam to przekształcić żeby po jednej stronie było wyrażenie a po drugiej zero?

tumor postów: 8070	2015-10-19 20:54:47 Mnożenie "na krzyż" to w istocie tylko mnożenie obu stron równania przez dwa mianowniki. Mnożenie przez mianownik dodatni nie zmienia znaku nierówności. Mnożenie przez mianownik ujemny zmienia znak nierówności. Jeśli nie wiesz, czy mianownik jest dodatni czy ujemny, to albo mnożysz przez jego kwadrat (jest dodatni), albo też rozpatrujesz oddzielnie dwa przypadki. Janusz napisał, żeby rozpatrywać przypadki. Na przykład a) w przedziale $(-\infty,1)$ prawdą jest $\mid x-1\mid =1-x$ $\mid x-2\mid =2-x$ Zatem zamiast pisać nierówność, w której są wartości bezwzględne, możesz napisać nierówność $1+(1-x)>(2-x)$

student113 postów: 156	2015-10-19 21:10:28 a) dla przedziału $(-\infty,1)$ wynik 0>0 (nie wiem co mam z tym zrobić) dla przedziału $<1,2)$ x>$\frac{1}{2}$ dla przedziału $(2,+\infty)$ 0>-2 (nie wiem co z tym zrobić) no i nie wiem jakie będzie rozwiązanie, część w spólna, czy wszystkie zbiory?

tumor postów: 8070	2015-10-19 21:25:07 Jeśli masz przedział, na przykład $(-\infty, 1)$, to traktujesz $x\in (-\infty,1)$ jak dodatkowe założenie. Rozwiązujesz nierówność, a potem bierzesz dla rozwiązania część wspólną z założeniem (czyli tylko te wyniki, które spełniają założenia). Jeśli masz kilka przedziałów, to w każdym przypadku robisz założenie, rozwiązujesz, bierzesz część wspólną. Dostajesz w ten sposób trzy oddzielne rozwiązania, które sumujesz (wszak są alternatywą). Zatem dla rozwiązania $x>\frac{1}{2}$ (nie sprawdzam, czy poprawnie liczyłeś) bierzesz tylko spełniające tę nierówność liczby z przedziału $(1,2)$. Rozwiązanie $0>-2$ jest prawdziwe dla każdego x, prawda? Zatem bierzesz DOWOLNY x, byle tylko spełniający założenie $x\in (2,\infty)$ Rozwiązanie 0>0 nie jest prawdą dla żadnego x. Zatem nie ma tu co robić. ------ W ogóle jesteś już dość duży, by kojarzyć sumę/iloczyn z alternatywą/koniunkcją. Jeśli dzielisz sobie prostą na trzy przedziały, nazwijmy je A,B,C, to $x\in A$ LUB $x\in B$ LUB $x\in C$. Jest to alternatywa. Jeśli jednak wprowadzasz założenia, a założeń jest milion, to mamy x spełnia założenie pierwsze ORAZ x spełnia założenie drugie ORAZ x spełnia założenie trzecie ORAZ... ... oraz x spełnia pewną nierówność. Wtedy to koniunkcja. Twój wynik ma postać (x należy do przedziału A oraz spełnia jakąś nierówność) lub (x należy do przedziału B oraz spełnia inne założenia oraz spełnia jakąś inną nierówność) lub (x należy...) lub, czyli spójnik alternatywy, odpowiada sumie rozwiązań. Wszak $X\cup Y = \{a: a\in X \mbox{ LUB } a\in Y\}$ oraz, i, czyli spójnik koniunkcji, odpowiada iloczynowi, czyli części wspólnej. Wszak $X\cap Y = \{a: a\in X \mbox{ ORAZ } a\in Y\}$ Nie jest zatem kwestią bezmyślnego kucia na pamięć, kiedy część wspólna a kiedy suma. Suma, gdy pewne zestawy warunków są wobec siebie alternatywne, a iloczyn, gdy pewne warunki mają byś spełnione jednocześnie.

student113 postów: 156	2015-10-19 21:28:57 Ok, dzięki za pomoc

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj