Analiza matematyczna, zadanie nr 3693
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
student113 post贸w: 156 |  2015-10-20 19:10:48Zbada膰 czy funkcje s膮 ograniczone: a) $f(x)=\frac{x^4+2x^3+3x^2}{x^2+1}$ b) $f(x)=\frac{x^4+2x^3+3x^2}{x^2-1}$ c) $f(x)=\frac{1}{1+sin(x)}$ d) $f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}$ Mo偶e kto艣 pom贸c mi z tym zadaniem, bo szczerze m贸wi膮c nie wiem jak si臋 zabra膰 to tych przyk艂ad贸w. Szczeg贸lnie pierwsze dwa. Bardzo prosz臋 o pomoc. |
tumor post贸w: 8070 | 2015-10-20 21:02:03 a) $f(x)=\frac{x^4+x^2}{x^2+1}+\frac{2x^3+2x}{x^2+1}+\frac{2x^2-2x-1}{x^2+1}=x^2+2x+\frac{2x^2-2x-1}{x^2+1}$ Mo偶na rozumowa膰 tak. $x^2+2x$ oczywi艣cie nie jest ograniczona z g贸ry, jest z do艂u (widzia艂e艣 ju偶 parabol臋?) Natomiast $\frac{2x^2-2x-1}{x^2+1}$ ma mianownik zawsze dodatni i nie mniejszy ni偶 1, zatem jest to funkcja ci膮g艂a. Granice w + i - niesko艅czono艣ciach ma r贸wne 2. Na ka偶dym przedziale zwartym b臋dzie przyjmowa膰 kresy, czyli b臋dzie ograniczona. A skoro ma sko艅czone granice, to poza pewnym przedzia艂em zwartym musi tak偶e przyjmowa膰 warto艣ci ograniczone. Suma funkcji ograniczonej z obu stron i ograniczonej tylko z do艂u jest oczywi艣cie ograniczona tylko z do艂u. Je艣li nie znasz poj臋cia zwarto艣ci czy twierdze艅 z nim zwi膮zanych, to musisz metod膮 bardziej cha艂upnicz膮. Brak ograniczenia g贸rnego 艂atwo pokaza膰. 呕adne M naturalne nie mo偶e by膰 ograniczeniem g贸rnym, bo je艣li we藕miemy $K=max(M,1000)$ to $f(K)>K\ge M$. Istnienie ograniczenia dolnego wymaga pokazania, 偶e $f(x)>M$ dla pewnego M naturalnego i dla wszystkich x z dziedziny funkcji. Pokombinuj, poszukaj M od kt贸rego masz pewno艣膰, 偶e warto艣ci funkcji s膮 wi臋ksze. Czasem wystarczy sprytnie wykaza膰, 偶e takie M istnieje, a czasem mo偶na poda膰 wprost. Pomys艂y? b) Przyk艂ad r贸偶ni si臋 od poprzedniego mianownikiem. Je艣li x zbli偶a si臋 do +1 lub -1, to mianownik zbli偶a si臋 do 0. Je艣li licznik wtedy nie zbli偶a si臋 tak偶e do 0, to ca艂y u艂amek nieograniczenie ro艣nie lub nieograniczenie maleje. $1^4+2*1^3+3*1^2=6$. Zauwa偶my, 偶e zale偶nie od tego, czy do 1 zbli偶amy si臋 od lewej czy od prawej strony, mianownik jest dodatni lub ujemny. Dziel膮c liczb臋 6 przez liczby coraz bli偶sze 0, ale dodatnie, otrzymujemy warto艣ci rosn膮ce nieograniczenie. Dziel膮c przez coraz bli偶sze 0, ale ujemne, dostajemy warto艣ci nieograniczenie malej膮ce. |
tumor post贸w: 8070 | 2015-10-20 21:17:46 c) sinx przyjmuje wszystkie warto艣ci z przedzia艂u $[-1,1]$ Zatem mianownik mo偶e by膰 dowolnie bliski 0, ale pozostanie zawsze dodatni. Licznik jest dodatni. Czyli ca艂y u艂amek, co by si臋 nie dzia艂o, jest dodatni, a to oznacza ograniczenie dolne na przyk艂ad r贸wne -823784872. Ograniczenia g贸rnego nie ma, bo licznik jest sta艂y, a dzielimy go przez liczby coraz bli偶sze 0. Warto艣膰 funkcji zatem ro艣nie bez ogranicze艅. M贸wi膮c to samo inaczej, je艣li obierzemy dowolnie du偶e M naturalne, to i tak znajdziemy x taki, 偶e $\frac{1}{1+sinx}>M$, bo to r贸wnowa偶ne $1+sinx<\frac{1}{M}$ $sinx<\frac{1}{M}-1$ $-1<x<arcsin(\frac{1}{M}-1)$ d) Zaczniemy raz poprawnie od okre艣lenia dziedziny. jest ni膮 $R\backslash [-1,1]$. Mianownik zerowa艂by si臋 dla $x=\pm 1$, czyli wypada sprawdzi膰, co si臋 wtedy dzieje z ca艂ym u艂amkiem. Dla $x\to -1-$ (minus po prawej oznacza granic臋 lewostronn膮) licznik u艂amka zbli偶a si臋 do -2, mianownik do 0 i jest dodatni, czyli warto艣ci u艂amka nieograniczenie malej膮. Dla $x\to 1+$ (granica prawostronna) licznik u艂amka si臋 zeruje, czyli musimy pomy艣le膰 nad jak膮艣 metod膮. $\frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}= \frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}*\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}$ Zeruje si臋 tylko licznik, czyli dla $x\to 1+$ warto艣ci funkcji s膮 ograniczone. Granice w $\pm \infty$ s膮 sko艅czone, a funkcja jest ci膮g艂a w $(-\infty,-1)$ oraz ci膮g艂a w $(1,\infty)$, czyli z g贸ry jest ograniczona. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj