logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3693

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

student113
postów: 156
2015-10-20 19:10:48

Zbadać czy funkcje są ograniczone:

a) $f(x)=\frac{x^4+2x^3+3x^2}{x^2+1}$

b) $f(x)=\frac{x^4+2x^3+3x^2}{x^2-1}$

c) $f(x)=\frac{1}{1+sin(x)}$

d) $f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}$

Może ktoś pomóc mi z tym zadaniem, bo szczerze mówiąc nie wiem jak się zabrać to tych przykładów. Szczególnie pierwsze dwa.
Bardzo proszę o pomoc.


tumor
postów: 8070
2015-10-20 21:02:03

a)
$f(x)=\frac{x^4+x^2}{x^2+1}+\frac{2x^3+2x}{x^2+1}+\frac{2x^2-2x-1}{x^2+1}=x^2+2x+\frac{2x^2-2x-1}{x^2+1}$

Można rozumować tak.
$x^2+2x$ oczywiście nie jest ograniczona z góry, jest z dołu (widziałeś już parabolę?)

Natomiast $\frac{2x^2-2x-1}{x^2+1}$ ma mianownik zawsze dodatni i nie mniejszy niż 1, zatem jest to funkcja ciągła. Granice w + i - nieskończonościach ma równe 2. Na każdym przedziale zwartym będzie przyjmować kresy, czyli będzie ograniczona. A skoro ma skończone granice, to poza pewnym przedziałem zwartym musi także przyjmować wartości ograniczone.

Suma funkcji ograniczonej z obu stron i ograniczonej tylko z dołu jest oczywiście ograniczona tylko z dołu.

Jeśli nie znasz pojęcia zwartości czy twierdzeń z nim związanych, to musisz metodą bardziej chałupniczą.
Brak ograniczenia górnego łatwo pokazać.
Żadne M naturalne nie może być ograniczeniem górnym, bo jeśli weźmiemy
$K=max(M,1000)$ to $f(K)>K\ge M$.

Istnienie ograniczenia dolnego wymaga pokazania, że $f(x)>M$ dla pewnego M naturalnego i dla wszystkich x z dziedziny funkcji.
Pokombinuj, poszukaj M od którego masz pewność, że wartości funkcji są większe. Czasem wystarczy sprytnie wykazać, że takie M istnieje, a czasem można podać wprost.
Pomysły?

b) Przykład różni się od poprzedniego mianownikiem.
Jeśli x zbliża się do +1 lub -1, to mianownik zbliża się do 0. Jeśli licznik wtedy nie zbliża się także do 0, to cały ułamek nieograniczenie rośnie lub nieograniczenie maleje.
$1^4+2*1^3+3*1^2=6$.
Zauważmy, że zależnie od tego, czy do 1 zbliżamy się od lewej czy od prawej strony, mianownik jest dodatni lub ujemny.
Dzieląc liczbę 6 przez liczby coraz bliższe 0, ale dodatnie, otrzymujemy wartości rosnące nieograniczenie. Dzieląc przez coraz bliższe 0, ale ujemne, dostajemy wartości nieograniczenie malejące.



tumor
postów: 8070
2015-10-20 21:17:46

c) sinx przyjmuje wszystkie wartości z przedziału $[-1,1]$
Zatem mianownik może być dowolnie bliski 0, ale pozostanie zawsze dodatni. Licznik jest dodatni.
Czyli cały ułamek, co by się nie działo, jest dodatni, a to oznacza ograniczenie dolne na przykład równe -823784872.
Ograniczenia górnego nie ma, bo licznik jest stały, a dzielimy go przez liczby coraz bliższe 0. Wartość funkcji zatem rośnie bez ograniczeń.

Mówiąc to samo inaczej, jeśli obierzemy dowolnie duże M naturalne, to i tak znajdziemy x taki, że $\frac{1}{1+sinx}>M$, bo to równoważne
$1+sinx<\frac{1}{M}$
$sinx<\frac{1}{M}-1$
$-1<x<arcsin(\frac{1}{M}-1)$

d) Zaczniemy raz poprawnie od określenia dziedziny.
jest nią $R\backslash [-1,1]$.
Mianownik zerowałby się dla $x=\pm 1$, czyli wypada sprawdzić, co się wtedy dzieje z całym ułamkiem.

Dla $x\to -1-$ (minus po prawej oznacza granicę lewostronną)
licznik ułamka zbliża się do -2, mianownik do 0 i jest dodatni, czyli wartości ułamka nieograniczenie maleją.

Dla $x\to 1+$ (granica prawostronna) licznik ułamka się zeruje, czyli musimy pomyśleć nad jakąś metodą.
$\frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}=
\frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}*\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}$
Zeruje się tylko licznik, czyli dla $x\to 1+$ wartości funkcji są ograniczone.
Granice w $\pm \infty$ są skończone, a funkcja jest ciągła w $(-\infty,-1)$ oraz ciągła w $(1,\infty)$, czyli z góry jest ograniczona.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj