Algebra, zadanie nr 3710

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
student113 postów: 156	2015-10-25 19:21:28 Witam, mam problem z obliczeniem granic: a)$\lim_{n \to \infty}\frac{1+n+3^{n-1}+5^n}{7^n-5^n}$ b)$\lim_{n \to \infty}\frac{n+4^n}{2^n+2^{2n}+4^{n+1}}$ Nie wiem w jaki sposób to rozwiązać, na przykład wyciągając największą potęge przed nawias w pierwszym przykładzie zostanie coś w tym stylu $...+\frac{n}{5^n}+...$ w mianowniku. Nie wiem co z tym zrobić, według mnie będzie to $\frac{\infty}{\infty}$ czyli symbol nieoznaczony. Może to trzeba inną metodą rozwiązać, ale żadna mi tu za bardzo nie pasuje. Proszę o pomoc Wiadomość była modyfikowana 2015-10-25 19:21:56 przez student113

tumor postów: 8070	2015-10-25 19:29:46 $ \frac{1}{7^n}\to 0$ $ \frac{n}{7^n}\to 0$ $ \frac{3^{n-1}}{7^n}\to 0$ $ \frac{5^n}{7^n}\to 0$ $ \frac{7^n}{7^n}\to 1$ Zatem dzieląc każdy składnik w liczniku i każdy w mianowniku przez $7^n$ otrzymasz granicę $\frac{0+0+0+0}{1-0}$ Korzystamy z twierdzenia o granicy sumy/różnicy/iloczynu/ilorazu. --- W przypadku b dzielimy każdy składnik licznika i mianownika przez $4^n$

student113 postów: 156	2015-10-25 19:40:24 Mam pytanie, dlaczego $\frac{n}{7^n}\rightarrow 0$ Myślałem że gdy $n\rightarrow\infty$ i $7^n\mapsto\infty$ to wynika z tego że mamy $\frac{\infty}{\infty}$, czyli symbol nieoznaczony i dalej nie wiemy do czego dąży to wyrażenie.

tumor postów: 8070	2015-10-25 19:44:26 Na przykład z twierdzenia o trzech ciągach. $\frac{n}{7^n}<(\frac{3}{7})^n$ a jest tak dlatego, że zwiększając n o jeden zwiększamy licznik maksymalnie razy 2, a mianownik dokładnie razy 7. Rozwiązując korzystamy z wcześniejszej wiedzy z wykładów, takie rzeczy tam były. :)

student113 postów: 156	2015-10-25 19:54:58 A gdybym tamten przykład rozwiązywał np. na kolokwium to bym musiał uzasadnić $\frac{n}{7^n}$ z twierdzenia o trzech ciągach, czy mógłbym od razu napisać że dąży to do zera? Mam jeszcze taki dziwny przykład: c)$\lim_{n \to \infty}\frac{{n \choose 3}}{{n \choose 5}\cdot{n \choose 7}}$ gdy to rozpisałem, poskracałem co się dało to wyszło mi mniej więcej $\frac{5!}{n*...}$ co oznacza że dąży do 0. Ale nie jestem pewien moich obliczeń. Proszę o sprawdzenie.

student113 postów: 156	2015-10-25 20:05:48 Dodatkowo mam taki, wyglądający groźnie przykład. d)$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{2n-1}\sqrt{2n+1}})$ Nie wiem czy się mylę, ale jeżeli $\frac{1}{\sqrt{n}}\rightarrow0$ to oznacza że cała granica dąży do 0? W innym przypadku nie mam pojęcia jak to zrobić

tumor postów: 8070	2015-10-25 20:14:12 Zapytaj wykładowcę, nie mnie. Ogólnie reguła jest taka, że na początkowych kolokwiach wymaga się od studenta rozpisywania, bo musisz WIEDZIEĆ, że twierdzenie o trzech ciągach umożliwia pokazanie takiej granicy. Ale po pewnym czasie nauki granice z a) i b) powinieneś podać na oko, po prostu napisać wynik. To od osoby prowadzącej zajęcia zależy, w jakim stopniu masz rozpisać przykład na kolokwium, do jak prostych faktów się odwołać. Obliczenia do c) sprawdzę, gdy je zamieścisz. W przykładzie d) pomnóż każdy ułamek w nawiasie w taki sposób: $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{1}-\sqrt{3}}{\sqrt{1}-\sqrt{3}}$ W ten sposób sprowadzisz ułamki do wspólnego mianownika. Następnie dodaj liczniki. To znacząco uprości przykład.

student113 postów: 156	2015-10-25 20:23:07 c) obliczeń nie chce mi się przepisywać bo zajmują zbyt dużo :) raczej jest dobrze d) to czasami nie jest ciąg nieskończony? Po co mam obliczać w nawiasie jak przed nawiasem jest wyrażenie które dąży do zera, to nie będzie tak żę całe wyrażenie dąży do zera? :D

student113 postów: 156	2015-10-25 20:26:43 Jeszcze jeden problem :D e) $\frac{1+2-3+4+5-6+...-3n}{n^2+n+1}$ Nie wiem co zrobić z ciągiem w liczebniku. Proszę jeszcze to i kończę :D

tumor postów: 8070	2015-10-25 20:38:45 d) ciągi często są nieskończone. :) Natomiast każdy wyraz ciągu ma skończenie wiele elementów w nawiasie. Pojawiło się na wykładzie (a jeśli nie, to się pojawi na pewno) twierdzenie, że iloczyn ciągu zbieżnego do 0 i ciągu ograniczonego ma granicę równą 0. Nie dotyczy to jednak iloczynu ciągu zbieżnego do 0 i ciągu rozbieżnego do nieskończoności. Symbol $0\infty$ to także symbol nieoznaczony i iloczyn dwóch ciągów, z których jeden ma granicę 0, a drugi $\infty$, może nie mieć granicy wcale, może mieć dowolną granicę rzeczywistą, może mieć granicę $\infty$ albo $-\infty$. Czyli z samego symbolu $0\infty$ nie wnioskujemy o granicy. Polecam nauczyć się wszystkich symboli nieoznaczonych. Miałeś już wcześniej symbol $\frac{\infty}{\infty}$ i trzeba było użyć jakiegoś rozumowania, żeby obliczyć granicę. Masz przykłady ciągów: $\frac{a7^n}{7^n}\to a$ $\frac{7^n}{n}\to \infty$ $\frac{n}{7^n}\to 0$ $\frac{n+\frac{nsin(n)}{2}}{n+\frac{ncos(n!)}{2}}$ nie ma granicy wcale, a wszystkie one mają symbol $\frac{\infty}{\infty}$. --- e) o liczebniki spytać polonistę. Licznik da się przedstawić jako różnica dwóch ciągów arytmetycznych. Suma ciągu arytmetycznego była w liceum.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj