Algebra, zadanie nr 3710
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
student113 post贸w: 156 |  2015-10-25 19:21:28Witam, mam problem z obliczeniem granic: a)$\lim_{n \to \infty}\frac{1+n+3^{n-1}+5^n}{7^n-5^n}$ b)$\lim_{n \to \infty}\frac{n+4^n}{2^n+2^{2n}+4^{n+1}}$ Nie wiem w jaki spos贸b to rozwi膮za膰, na przyk艂ad wyci膮gaj膮c najwi臋ksz膮 pot臋ge przed nawias w pierwszym przyk艂adzie zostanie co艣 w tym stylu $...+\frac{n}{5^n}+...$ w mianowniku. Nie wiem co z tym zrobi膰, wed艂ug mnie b臋dzie to $\frac{\infty}{\infty}$ czyli symbol nieoznaczony. Mo偶e to trzeba inn膮 metod膮 rozwi膮za膰, ale 偶adna mi tu za bardzo nie pasuje. Prosz臋 o pomoc Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-10-25 19:21:56 przez student113 |
tumor post贸w: 8070 | 2015-10-25 19:29:46 $ \frac{1}{7^n}\to 0$ $ \frac{n}{7^n}\to 0$ $ \frac{3^{n-1}}{7^n}\to 0$ $ \frac{5^n}{7^n}\to 0$ $ \frac{7^n}{7^n}\to 1$ Zatem dziel膮c ka偶dy sk艂adnik w liczniku i ka偶dy w mianowniku przez $7^n$ otrzymasz granic臋 $\frac{0+0+0+0}{1-0}$ Korzystamy z twierdzenia o granicy sumy/r贸偶nicy/iloczynu/ilorazu. --- W przypadku b dzielimy ka偶dy sk艂adnik licznika i mianownika przez $4^n$ |
student113 post贸w: 156 | 2015-10-25 19:40:24 Mam pytanie, dlaczego $\frac{n}{7^n}\rightarrow 0$ My艣la艂em 偶e gdy $n\rightarrow\infty$ i $7^n\mapsto\infty$ to wynika z tego 偶e mamy $\frac{\infty}{\infty}$, czyli symbol nieoznaczony i dalej nie wiemy do czego d膮偶y to wyra偶enie. |
tumor post贸w: 8070 | 2015-10-25 19:44:26 Na przyk艂ad z twierdzenia o trzech ci膮gach. $\frac{n}{7^n}<(\frac{3}{7})^n$ a jest tak dlatego, 偶e zwi臋kszaj膮c n o jeden zwi臋kszamy licznik maksymalnie razy 2, a mianownik dok艂adnie razy 7. Rozwi膮zuj膮c korzystamy z wcze艣niejszej wiedzy z wyk艂ad贸w, takie rzeczy tam by艂y. :) |
student113 post贸w: 156 | 2015-10-25 19:54:58 A gdybym tamten przyk艂ad rozwi膮zywa艂 np. na kolokwium to bym musia艂 uzasadni膰 $\frac{n}{7^n}$ z twierdzenia o trzech ci膮gach, czy m贸g艂bym od razu napisa膰 偶e d膮偶y to do zera? Mam jeszcze taki dziwny przyk艂ad: c)$\lim_{n \to \infty}\frac{{n \choose 3}}{{n \choose 5}\cdot{n \choose 7}}$ gdy to rozpisa艂em, poskraca艂em co si臋 da艂o to wysz艂o mi mniej wi臋cej $\frac{5!}{n*...}$ co oznacza 偶e d膮偶y do 0. Ale nie jestem pewien moich oblicze艅. Prosz臋 o sprawdzenie. |
student113 post贸w: 156 | 2015-10-25 20:05:48 Dodatkowo mam taki, wygl膮daj膮cy gro藕nie przyk艂ad. d)$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{2n-1}\sqrt{2n+1}})$ Nie wiem czy si臋 myl臋, ale je偶eli $\frac{1}{\sqrt{n}}\rightarrow0$ to oznacza 偶e ca艂a granica d膮偶y do 0? W innym przypadku nie mam poj臋cia jak to zrobi膰  |
tumor post贸w: 8070 | 2015-10-25 20:14:12 Zapytaj wyk艂adowc臋, nie mnie. Og贸lnie regu艂a jest taka, 偶e na pocz膮tkowych kolokwiach wymaga si臋 od studenta rozpisywania, bo musisz WIEDZIE膯, 偶e twierdzenie o trzech ci膮gach umo偶liwia pokazanie takiej granicy. Ale po pewnym czasie nauki granice z a) i b) powiniene艣 poda膰 na oko, po prostu napisa膰 wynik. To od osoby prowadz膮cej zaj臋cia zale偶y, w jakim stopniu masz rozpisa膰 przyk艂ad na kolokwium, do jak prostych fakt贸w si臋 odwo艂a膰. Obliczenia do c) sprawdz臋, gdy je zamie艣cisz. W przyk艂adzie d) pomn贸偶 ka偶dy u艂amek w nawiasie w taki spos贸b: $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{1}-\sqrt{3}}{\sqrt{1}-\sqrt{3}}$ W ten spos贸b sprowadzisz u艂amki do wsp贸lnego mianownika. Nast臋pnie dodaj liczniki. To znacz膮co upro艣ci przyk艂ad. |
student113 post贸w: 156 | 2015-10-25 20:23:07 c) oblicze艅 nie chce mi si臋 przepisywa膰 bo zajmuj膮 zbyt du偶o :) raczej jest dobrze d) to czasami nie jest ci膮g niesko艅czony? Po co mam oblicza膰 w nawiasie jak przed nawiasem jest wyra偶enie kt贸re d膮偶y do zera, to nie b臋dzie tak 偶臋 ca艂e wyra偶enie d膮偶y do zera? :D |
student113 post贸w: 156 | 2015-10-25 20:26:43 Jeszcze jeden problem :D e) $\frac{1+2-3+4+5-6+...-3n}{n^2+n+1}$ Nie wiem co zrobi膰 z ci膮giem w liczebniku. Prosz臋 jeszcze to i ko艅cz臋 :D |
tumor post贸w: 8070 | 2015-10-25 20:38:45 d) ci膮gi cz臋sto s膮 niesko艅czone. :) Natomiast ka偶dy wyraz ci膮gu ma sko艅czenie wiele element贸w w nawiasie. Pojawi艂o si臋 na wyk艂adzie (a je艣li nie, to si臋 pojawi na pewno) twierdzenie, 偶e iloczyn ci膮gu zbie偶nego do 0 i ci膮gu ograniczonego ma granic臋 r贸wn膮 0. Nie dotyczy to jednak iloczynu ci膮gu zbie偶nego do 0 i ci膮gu rozbie偶nego do niesko艅czono艣ci. Symbol $0*\infty$ to tak偶e symbol nieoznaczony i iloczyn dw贸ch ci膮g贸w, z kt贸rych jeden ma granic臋 0, a drugi $\infty$, mo偶e nie mie膰 granicy wcale, mo偶e mie膰 dowoln膮 granic臋 rzeczywist膮, mo偶e mie膰 granic臋 $\infty$ albo $-\infty$. Czyli z samego symbolu $0*\infty$ nie wnioskujemy o granicy. Polecam nauczy膰 si臋 wszystkich symboli nieoznaczonych. Mia艂e艣 ju偶 wcze艣niej symbol $\frac{\infty}{\infty}$ i trzeba by艂o u偶y膰 jakiego艣 rozumowania, 偶eby obliczy膰 granic臋. Masz przyk艂ady ci膮g贸w: $\frac{a7^n}{7^n}\to a$ $\frac{7^n}{n}\to \infty$ $\frac{n}{7^n}\to 0$ $\frac{n+\frac{nsin(n)}{2}}{n+\frac{ncos(n!)}{2}}$ nie ma granicy wcale, a wszystkie one maj膮 symbol $\frac{\infty}{\infty}$. --- e) o liczebniki spyta膰 polonist臋. Licznik da si臋 przedstawi膰 jako r贸偶nica dw贸ch ci膮g贸w arytmetycznych. Suma ci膮gu arytmetycznego by艂a w liceum. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj