Inne, zadanie nr 3717

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
dk9090 postów: 7	2015-10-27 10:34:54 Witam. Dostałem do zrobienia pewne zadanie, nie mam jednak pojęcia jak się za nie zabrać. Wykazać zbieżność ciągu zdefiniowanego następująco $a_{1}=1, a_{n+1}=\sqrt{2+an}$ dla $n∈N.$ Wyznaczyć granicę tego ciągu. Wskazówka: wykazać, że jest to ciąg rosnący i ograniczony, wykorzystać zasadę indukcji. Proszę o pomoc.

tumor postów: 8070	2015-10-27 12:21:27 $a_1<2$ Jeśli $a_n<2$, to $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<2$ ponadto $a_1\ge 1$ jeśli $a_n\ge 1$ to oczywiście także $a_{n+1}\ge 1$ oraz $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{2+a_n}}{a_n}> \sqrt{\frac{2+a_n}{2a_n}}\ge 1$ wobec czego ciąg jest rosnący i ograniczony, a zatem zbieżny. Jeśli już wiemy, że granicą ciągu jest liczba rzeczywista, to możemy ją sprytnie liczyć. $\lim_{n \to \infty}a_{n}=\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=\lim_{n \to \infty}\sqrt{2+a_{n}}$ podnosząc stronami do kwadratu dostajemy $(\lim_{n \to \infty}a_{n})^2=2+\lim_{n \to \infty}a_{n}$ ładniej to wygląda gdy podstawimy $\lim_{n \to \infty}a_{n}=x$ wtedy $x^2=2+x$ $x^2-x-2=0$ $x_1=\frac{1-3}{2}=-1$ (nie spełnia założeń, granica ciągu liczb dodatnich nie może być ujemna) $x_2=\frac{1+3}{2}=2$ i to jest rozwiązanie. Wiadomość była modyfikowana 2015-10-27 12:21:53 przez tumor

dk9090 postów: 7	2015-10-27 18:05:46 Dziękuję.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj