logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3718

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

konieczna90
postów: 9
2015-10-27 12:22:38

Witam proszę o pomoc w takim zadaniu:
Wykaż, że rodzina zbiorów $\mathcal{A}$(A pisane)spełniająca jeden z warunków :
a)$ \forall_{A,B \in \mathcal{A}} A \cup B, A \cap B \in \mathcal{A}$,
b)$ \forall_{A,B \in \mathcal{A}} A \cap B, A \backslash B \in \mathcal{A}$
nie musi być pierścieniem.

Wiadomość była modyfikowana 2015-10-27 12:25:21 przez tumor

tumor
postów: 8085
2015-10-27 13:08:10

Przetestuj kilka rodzin spełniających te warunki.

Na przykład dla b) możesz przetestować rodzinę, do której należą skończone zbiory liczb parzystych i skończone zbiory liczb nieparzystych oraz oczywiście zbiór pusty.
Czy taka rodzina jest pierścieniem?

Jakie jeszcze rodziny zbiorów w ogóle TESTUJESZ, żeby sprawdzić, czy mogą być przykładami czy nie? Testujesz jakieś? :)


konieczna90
postów: 9
2015-11-11 00:41:58

tutaj chciałabym przetestować wykorzystując definicje a nie przykłady daltego bardzo proszę o pomoc,bo nie mogę sobie z tym poradzić:(


tumor
postów: 8085
2015-11-11 09:08:14

Widzisz, robisz tu gimnazjum. Nauczyciel dobrze widzi, czego uczeń nie umie. Gdy definicja jest napisana na tablicy, uczeń ma ją podać, uczeń widzi tablicę, ale mówi "uczyłem się, mam na końcu języka, ale z nerwów nie pamiętam", to taki nauczyciel może się śmiać z kłamiącego ucznia albo się smucić, że ma z takim do czynienia. Uczeń myśli, że ratuje resztki godności zapewniając, że nie jest leniem, a nauczyciel wie, że uczeń jest leniem i mu się nawet zajrzeć do zeszytu nie chciało i dlatego nawet nie rozpoznaje napisanej definicji, nie mówiąc już o jej dokładnym pamiętaniu.

W naprawdę prostych zadaniach zapytałem o naprawdę proste rzeczy. Nie rozpoznajesz ich nawet gdy masz je napisane. Dlatego unikaj wciskania mi kitów. A zacznij pracować.

a) patrz na te symbole. Znaczą:
"Dla każdych dwóch elementów rodziny $\mathcal{A}$ zarówno suma jak i przekrój tych elementów należy do $\mathcal{A}$"

b) a te symbole znaczą
"Dla każdych dwóch elementów rodziny $\mathcal{A}$ zarówno przekrój jak i różnica tych elementów należy do $\mathcal{A}$"


----

Przypominam definicję, którą masz napisaną, ale nie umiesz jej odczytać. $\mathcal{P}$ jest pierścieniem, gdy
$\forall_{A,B\in\mathcal P}A\cup B, A\backslash B\in P$
czyli słownie
"Dla każdych dwóch elementów rodziny $\mathcal{P}$ zarówno suma jak i różnica tych elementów należy do $\mathcal{P}$"

Zatem
W podpunkcie b) masz podać rodzinę spełniającą warunek:
"Dla każdych dwóch elementów rodziny $\mathcal{A}$ zarówno przekrój jak i różnica tych elementów należy do $\mathcal{A}$, ale suma NIE należy do $\mathcal{A}$"
Bo mają być spełnione warunki z podpunktu, ale jednocześnie NIE ma być spełniony warunek na pierścień.

Podałem przykład: rodzina (domyślnie: podzbiorów N) zawierająca zbiory skończone liczb parzystych i zbiory skończone liczb nieparzystych, przy tym zbiór pusty jest także w tej rodzinie.
Czyli w rodzinie są na przykład zbiory:
$\emptyset, \{2,4,6\}, \{666,1410,2046\}, \{69,2015,\} $

Co będzie, jeśli odejmiesz dwa takie zbiory od siebie?
Jeśli odejmujemy OD ZBIORU liczb parzystych, to wynik będzie skończonym zbiorem liczb parzystych (może być zbiorem pustym).
Jeśli odejmujemy OD ZBIORU liczb nieparzystych, to wynik będzie skończonym zbiorem liczb nieparzystych (może być pustym).
Jeśli odejmujemy od zbioru pustego, to wynik jest zbiorem pustym.
Czyli każda możliwa różnica dwóch zbiorów z $\mathcal{A}$ wciąż należy do $\mathcal{A}$.

Co się stanie, gdy liczymy przekrój? Jeśli zbiory nie miały części wspólnej, to przekrojem jest zbiór pusty, a on należy do $\mathcal{A}$.
Jeśli miały część wspólną, to oba należały do podzbiorów liczb parzystych (czyli część wspólna będzie skończonym zbiorem liczb parzystych) albo oba należały do podzbiorów liczb nieparzystych (i przekrój będzie skończonym podzbiorem liczb nieparzystych).
Zatem w każdym możliwym przypadku przekrój dwóch zbiorów z $\mathcal{A}$ jest zbiorem z $\mathcal{A}$.

A co z sumą?
Jeśli weźmiesz jeden zbiór liczb parzystych, na przykład \{2,4,6\}, a drugi zbiór liczb nieparzystych $\{69,2015,\}$, to ich suma NIE JEST ani skończonym zbiorem liczb parzystych ani skończonym zbiorem liczb nieparzystych, zatem nie należy już do $\mathcal{A}$.

Dostałaś na tacy przykład i należało tylko sprawdzić, czy spełnia od dwa warunki (przekroju i różnicy), ale nie spełnia warunku sumy (czyli dzięki temu nie jest pierścieniem).


----------------------


a) porównując ten przykład z b):
w tym przykładzie masz znaleźć rodzinę zbiorów, w której sumy i przekroje wciąż należą do tej rodziny, ale da się znaleźć różnicę, która już do tej rodziny nie należy. (bo spełnione mają być warunki z a), ale rodzina nie ma być pierścieniem, czyli nie może spełniać warunku różnicy)



konieczna90
postów: 9
2015-11-11 14:40:20

{1,2,3 } i {4,5,6} Nie wiem czy taki przykład byłby odpowiedni jakbym wzięła skończone podzbiory R.
Bardzo dziękuję za obrazowe przedstawienie sytuacji w a),
ale tutaj różnica będzie skończonym podzbiorem zbioru R, a może jeśli wezme jeden skończny a drugi nie? {1,2,3....} {4,5,6}
jeśli te zbiory sa złe to proszę o wskazówke


tumor
postów: 8085
2015-11-11 16:59:02

Nie masz zrobić tylko przykładu. Masz podać rodziny zbiorów.

Jeśli zbiór $\mathcal{A}$ jest rodziną skończonych podzbiorów R, jak te wymienione, to spełnione są warunki
$A\cup B\in \mathcal{A}$
$A\cap B\in \mathcal{A}$
ale niestety jest spełniony też warunek
$A\backslash B\in \mathcal{A}$
i taka rodzina $\mathcal{A}$ jest pierścieniem.
A szukasz rodziny, która dwa pierwsze warunki spełnia, ale nie będzie pierścieniem.

------

Jeśli bierzesz pod uwagę zbiory przeliczalne (skończone lub nie), to także suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna, przekrój dwóch zbiorów przeliczalnych jest przeliczalny, ale NIESTETY także różnica dwóch zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna.
Wobec tego i w tym przykładzie będziesz mieć do czynienia z pierścieniem.


-------

Musisz wykombinować inną rodzinę. Ważne jest, że jeśli weźmiesz dwa zbiory z tej rodziny (dowolne dwa), to suma i przekrój tych zbiorów do rodziny mają należeć, ale różnica nie może należeć.
Tu potrzeba nieco wyobraźni. Albo wyobrazisz sobie w głowie, albo stworzysz przykład na kartce. Trudne to nie jest. Tylko próbuj.


----
Uwaga raz jeszcze. Nie masz podać przykładu dwóch zbiorów. Masz podać przykład JEDNEJ RODZINY ZBIORÓW, a w tej rodzinie dla DOWOLNYCH dwóch zbiorów ma być suma i przekrój, ale już niekoniecznie różnica.

W podpunkcie b) znaleźliśmy rodzinę, konkretną, w której dla dowolnych zbiorów z tej rodziny była też ich różnica i przekrój, ale już niekoniecznie suma.
Zmieniają się zatem działania, które mają być w tej rodzinie wewnętrzne (to znaczy: jeśli zastosujemy działanie, to wynik na pewno też jest elementem rodziny).


konieczna90
postów: 9
2015-11-12 23:30:45

wydaje mi się, że bardzo ciężko jest wskazać taki zbiór:(


tumor
postów: 8085
2015-11-12 23:38:34

Bardzo łatwo. Wystarczy w dowolnym zbiorze niepustym X wyróżnić jeden element i rozważyć wszystkie podzbiory X, do których ten element należy.

Czyli dla przykładu
$\mathcal{A}$ - rodzina podzbiorów N do których należy element 666.

Wtedy gdy masz dwa elementy z $\mathcal{A}$, to ich suma też ma element 666, czyli należy do $\mathcal{A}$. Również ich przekrój musi mieć element 666. Natomiast ich różnica na pewno nie ma elementu 666, czyli nie należy do $\mathcal{A}$.

To zresztą nie jest jedyny sposób rozwiązania tego zadania, ale jeden z możliwych.

Zauważmy, że mamy tu nawet zamkniętość na przeliczalne sumy i przeliczalne przekroje, a nie tylko skończone. A na różnice nie.


konieczna90
postów: 9
2015-11-13 00:43:54

Pomyliłam się, bo dopełnieniem zbioru liczb parzystych będzie zb. nieskończony.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 23 drukuj