Analiza matematyczna, zadanie nr 3719
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
magda2219 post贸w: 19 |  2015-10-27 15:38:43Niech f:R^2->R oraz f(x,y)= 0 dla x=y=0 x+y+(x^3*y)/(x^4+y^2) dla (x,y)\neq(0,0) Pokazac ze f jest ciagla oraz ma pochodne cz膮stkowe w dowolnym punkcie R^2, ale nie jest r贸偶niczkowalna w punkcie (0,0). Pokaza膰,偶e f ma w punkcie (0,0) pochodne kierunkowe we wszystkich kierunkach. |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-10-28 20:40:14 Ci膮g艂o艣膰 funkcji $f$ Poza punktem $ (0, 0)$ ci膮g艂o艣膰 funkcji nie budzi w膮tpliwo艣ci. Jest ona ilorazem wielomian贸w dw贸ch zmiennych $ x,\ \ y.$ Skoncentrujemy si臋 jedynie na zbadaniu ci膮g艂o艣ci w pocz膮tku uk艂adu, kt贸ra nie jest oczywista. Rozpoczniemy od znalezienia granicy funkcji gdy $(x, y)\rightarrow (0,0).$ Przechodz膮c z $ x $ do zera przy ustalonym $ y $ ( i rozpatruj膮c osobno dwa przypadki:$ y=0, y\neq 0)$ otrzymujemy $\lim_{x\to 0}f(x,y)=\lim_{x\to 0}\frac{x+y +x^3y}{x^4 + y^2}= \begin{cases} \frac{1}{y}\ \ \mbox{dla} \ \ y\neq 0\\ 0 \ \ \mbox{dla} \ \ y=0 \end{cases}.$ Granica iterowana $lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}f(x,y)$ istnieje i jest r贸wna zeru. Badamy drug膮 granic臋 iterowan膮,ustalaj膮c $ x $ i przechodz膮c z $ y $ do zera. $\lim_{x\to 0}f(x,y)=\lim_{x\to 0}\frac{x+y +x^3y}{x^4 + y^2}= \begin{cases} \frac{1}{x^3}\ \ \mbox{dla} \ \ x\neq 0\\ 0 \ \ \mbox{dla} \ \ x=0 \end{cases}.$ Druga granica iterowana $lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}f(x,y)$ istnieje i r贸wna jest zero. Aby upewni膰 si臋 co do istnienia granicy podw贸jnej (nieiterowanej) przy $ (x, y) \rightarrow 0,$ wybierzemy ci膮g punkt贸w $ (x_{n}, y_{n}) $, taki, dla kt贸rego zachodzi: $ \lim_{n\to \infty}x_{n}=0,\ \ \lim_{n\to \infty} y_{n} = 0,$ oraz $ (x_{n}, y_{n})\neq (0, 0) $, a nast臋pnie dokonujemy oszacowania: $|f(x_{n},y_{n})|=\left|\frac{x_{n}+y_{n}+x_{n}^{3} y_{n}}{x_{n}^{4}+ y_{n}^{2}}\right|\leq$ $\leq \left|\frac{x_{n}+ y_{n}}{x_{n}^{4}+y_{n}^{2}}\right|+ \left|\frac{x_{n}^{3}\cdot y_{n}}{x_{n}^{4}+ y_{n}^{2}}\leq$ $\leq \left|\frac{y_{n}^{3}}{y_{n}^{2}}\right|+ \left| \frac{x_{n}^{3} y_{n}^{2}}{y_{n}^{2}}\right| =|y_{n}|+ |x_{n}^{3}| \rightarrow 0 + 0 =0.$ Z regu艂y trzech ci膮g贸w wynika, 偶e zachodzi $ \lim_{n\to \infty}f(x_{n},y_{n}) =0.$ Mamy $ \lim_{(x, y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=0.$ Dla zapewnienia ci膮g艂o艣ci konieczne jest jeszcze $ f(0,0)=0$, co wynika ze wzoru funkcji $ f. $ Funkcja $ f $ jest wi臋c funkcj膮 ciag艂膮 Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-10-28 21:57:14 przez janusz78 |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-10-28 21:44:16 Istnienie pochodnych cz膮stkowych. Poza punktem $ (0, 0) $ pochodne cz膮stkowe istniej膮, bo jak wspomniano przy badaniu jej ciag艂o艣ci - funkcja jest ilorazem wielomian贸w zmiennych $(x,y).$ $ f_{|x}(x,y) = \frac{(1+ 3x^2y)(x^4+y^2)-(x+y+x^3y)4x^3}{(x^4+y^2)^2},$ $ f_{|y}(x,y) = \frac{(1+ x^3)(x^4+y^2)-(x+y+x^3y)2y}{(x^4+y^2)^2}.$ Badamy istnienie pochodnych cz膮stkowych w punkcie $(0, 0).$ $f{|x}(0,0)= \lim_{h \to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h/h^4 -0}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h^4}=\infty,$ $f{|y}(0,0)= \lim_{h \to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h/h^2-0}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h^2}=\infty.$ Zatem funkcja nie jest r贸偶niczkowalna w punkcie $(0,0). $ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-10-28 21:52:12 przez janusz78 |
tumor post贸w: 8070 | 2015-10-28 22:28:56 Ja mo偶e zwr贸c臋 uwag臋, 偶e wz贸r funkcji to $x+y+\frac{x^3y}{x^4+y^2}$, co jest w tre艣ci zapisane wyra藕nie i nic nie uzasadnia pomy艂ki w rozwi膮zaniu. Wobec tego pochodne cz膮stkowe s膮 sko艅czone. Ponadto powiniene艣 zauwa偶y膰, Janusz, 偶e niesko艅czone pochodne by艂yby sprzeczne z tre艣ci膮 zadania (mamy pokaza膰 istnienie pochodnych kierunkowych, a wi臋c w szczeg贸lno艣ci tych w kierunkach osi). Ale ma艂o tego. Liczysz granice iterowane i ZN脫W robisz b艂臋dy w tym rodzaju zadania. Przy b艂臋dnym zapisie funkcji dla $y=0$ i $x\to 0$ mamy $\lim_{x \to 0\pm}\frac{x}{x^4}=\pm \infty$ czyli nie istnieje. Wobec czego nie ma nawet ci膮g艂o艣ci. Piszesz jakie艣 wzory i potem wynik, kt贸ry chcia艂by艣 uzyska膰, ale bez jakiego艣 kroku po艣redniego, 偶e z tych wzor贸w ten wynik wynika? :) A teraz popatrzmy na szacowanie $|f(x,y)|\le |y|+|x^3|$ i we藕my $x=y=\frac{1}{n}$ Wychodzi $\frac{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^2}}=\frac{2n^3+1}{1+n^2}$ i powiedz, 偶e to jest ograniczone z g贸ry przez $\mid \frac{1}{n}\mid +\mid \frac{1}{n^3}\mid $ Stosujesz b艂臋dne kroki, wobec czego otrzymujesz nieprawdziwe oszacowanie. (Czyli b艂臋dne przepisanie zadania, dwukrotne b艂臋dne liczenie granic iterowanych, niezauwa偶enie sprzeczno艣ci z tre艣ci膮 zadania w kwestii pochodnej kierunkowej i \"udowodnienie\", 偶e nieci膮g艂a funkcja jest ci膮g艂a. Do tego absurdalne oszacowanie warto艣ci funkcji. No mega. B艂臋dy Ci si臋 nie zmie艣ci艂y w jednym po艣cie i dlatego rozbi艂e艣 na dwa?) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj