Algebra, zadanie nr 3721

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ja9609 postów: 28	2015-10-28 12:54:43 Mamy liczbę $\frac{t}{t+i}$ Dla jakich t liczba ta należy do zbioru liczb rzeczywistych? Przekształcając tę liczbę otrzymuję 1- $\frac{i}{t+i}$ Czyli wynika z tego, że t musi być równe zero lub być urojone?

tumor postów: 8070	2015-10-28 14:15:34 można podać odpowiedź zapisując $t=a+bi$ $t\neq i$ Wtedy $\frac{t}{t+i}=\frac{a+bi}{a+(b+1)i}= \frac{(a+bi)(a-(b+1)i)}{a^2+(b+1)^2}$ interesuje nas tylko część urojona tej liczby, ma ona postać $\frac{-a(b+1)i+abi}{a^2+(b+1)^2}=\frac{a(-1)i}{a^2+(b+1)^2}$ część urojona jest zerem wtw $a=0$, czyli gdy $t=bi$. -------------- Powyższa metoda jest raczej męcząca. Inny sposób rozwiązania używa nieco sprytu. Odwrotność liczby rzeczywistej jest liczbą rzeczywistą, natomiast odwrotność liczby zespolonej z niezerową częścią urojoną ma także niezerową część urojoną. Możemy zatem zapytać równie dobrze, kiedy $\frac{t+i}{t}$ jest rzeczywista czyli kiedy $\frac{i}{t}$ jest rzeczywista (bo 1 możemy pominąć). Znów odwracając: kiedy $\frac{t}{i}$ jest rzeczywista. A pisząc teraz, że $\frac{a}{i}+\frac{bi}{i}\in R$ dostaniemy, że $a=0$, b dowolne. Przy tym: nie można odwracać, gdy licznik jest zerem, bo przez zero nie dzielimy. Czyli rozwiązanie $t=0$ rozpatrujemy oddzielnie, natomiast dla $t\neq 0$ (i oczywiście $t\neq i$) możemy wykonywać takie odwracanie.

ja9609 postów: 28	2015-10-28 14:38:18 Bardzo dziękuję za pomoc. Mam jeszcze jedno pytanie. Mamy daną funkcję f: R$\rightarrow$C i jest ona dana wzorem f(x)= $\frac{1+xi}{1-xi}$. Znajdź f(R) I przekształcając tę funkcję otrzymuję f(x)= $\frac{1-x^2}{1+x^2}$ + $\frac{2xi}{1+x^2}$ Czy mogę to zinterpretować jako punkty o współrzędnych ($\frac{1-x^2}{1+x^2}$,$\frac{2x}{1+x^2}$) ?

tumor postów: 8070	2015-10-28 14:44:40 tak, to jest interpretacja graficzna liczby zespolonej

ja9609 postów: 28	2015-10-29 21:04:56 Zapomniałam o jednej rzeczy, czy f(R) to będzie zbiór tych punktów?

tumor postów: 8070	2015-10-29 21:21:07 f(A) to obraz zbioru A, czyli zbiór punktów f(x) dla $x\in A$. Zatem f(R) będzie to zbiór punktów (liczb zespolonych), gdzie x jest dowolną liczbą rzeczywistą, a współrzędne punktów są takie jak wyliczone.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj