logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3734

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2015-10-30 11:30:49

1. Naszkicować na płaszczyźnie zespolonej te liczby z, ktore spelniaja:
a) arg(z+2-i)=$\pi$
b) $z^{4}$+$z^{3}$+$z^{2}$+z+1

2. W zbiorze liczb zespolonych rozwiazac rownania
a) 4$z^{2}$+8$|z|^{2}$=8

Z góry dziekuje za pomoc. Ps będę wdzięczna za każdą wskazówkę, gdyz chcialabym to zrozumiec.



tumor
postów: 8070
2015-10-30 12:07:45

1.
a) Argument liczby zespolonej $z=a+bi$ to kąt, jaki tworzy wektor $[a,b]$ z dodatnią półosią rzeczywistą (mierzony od półosi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).

Kąt równy $\pi$ oznacza, że jakaś liczba zespolona ma być rzeczywista ujemna.
Zatem $z+2-i$ ma być rzeczywista ujemna. Czyli z po przesunięciu o wektor $[2,-1]$ ma być rzeczywista ujemna. Wystarczy zatem przesunąć ujemną półoś rzeczywistą o $[-2,1]$ by otrzymać rozwiązanie.

b)?

W zadaniu drugim można zapisać z=a+bi.

Równanie przyjmie postać $4(a+bi)^2+8(a^2+b^2)=8$
bowiem $|z|=\sqrt{z*\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}$

Równania tego rodzaju rozwiązuje się wymnażając, a następnie rozdzielając część rzeczywistą i urojoną.

$\left\{\begin{matrix} 4(a^2-b^2)+8(a^2+b^2)=8 \\ 8abi=0 \end{matrix}\right.$
Układ jest na poziomie licealnym.


brightnesss
postów: 113
2015-11-04 23:21:32

Dziękuję za pomoc

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 14 drukuj