Analiza matematyczna, zadanie nr 3742
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
jacek00 postów: 11 | 2015-11-01 22:49:50 Zbadaj przedział zbieżności i sumę szeregu $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x^2-1)^n}{2}$ Wiadomość była modyfikowana 2015-11-01 22:50:08 przez jacek00 |
jacek00 postów: 11 | 2015-11-01 23:28:52 Mógłby mi ktoś wyjaśnić jak rozwiązywać tego typu szeregi? |
tumor postów: 8070 | 2015-11-02 10:14:39 Olaboga, masz przemyśleć zbieżność. Jeśli $-1<x^2-1<1$ to $(x^2-1)^n\to 0 $ Bez dzielenia przez dwa $\sum (x^2-1)^n$ jest szeregiem zbieżnym, bo to po prostu szereg geometryczny z $|q|<1$. Dla pozostałych x szereg jest oczywiście rozbieżny, bo ciąg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregu $a_n\to 0$. Zadanie polega na prostym przeczytaniu, z czym ma się do czynienia. Czytaniu ze zrozumieniem. Rozwiązanie przez "tajemniczą metodę której nigdy nie zrozumiem ale będę stosował" zostawiamy kalkulatorom. --- $\sum_{n=1}^{\infty} t^n=t*\frac{1}{1-t}$ $\sum_{n=1}^{\infty} (x^2-1)^n=(x^2-1)*\frac{1}{1-(x^2-1)}$ a jak dzielimy wszystkie składniki przez 2, to i suma będzie 2 razy mniejsza. Wiadomość była modyfikowana 2015-11-02 10:17:41 przez tumor |
jacek00 postów: 11 | 2015-11-02 23:05:02 Możesz sprawdzić czy dobrze? $t = \frac{x^2-1}{2}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x^2-1)^n}{2} = \sum_{n=1}^{\infty}t^n$ $t+t^2+t^3...$ $S = \frac{t}{1-t} = \frac{\frac{x^2-1}{2}}{1-\frac{x^2-1}{2}}$ Po przekształceniu $S =- \frac{x^2-1}{x^2+1}$ I to jest moja suma tak? A obszar zbieżności to $ x\in (1,\sqrt{3})?$ Wiadomość była modyfikowana 2015-11-02 23:53:16 przez jacek00 |
tumor postów: 8070 | 2015-11-03 07:06:06 Masz dwa podobne zadania. W jednym liczysz sumę $(\frac{x^2-1}{2})^n$, a w jednym $\frac{(x^2-1)^n}{2}$ To nie są takie same zadania. Jeśli przykładem jest $\frac{(x^2-1)^n}{2}$, to $t=(x^2-1)$, co zresztą napisałem. Halo. Przykład jest wyżej napisany i rozwiązany prawie w całości. Dzielenie przez 2 uwzględnia się dzieląc ostateczną sumę przez 2. I już. Obszar zbieżności liczymy rozwiązując $-1<x^2-1<1$ czyli $0<x^2<2$ czyli $0<|x|<\sqrt{2}$ W przykładzie $(\frac{x^2-1}{2})^n$ liczymy $-1<\frac{x^2-1}{2}<1$ $-2<x^2-1<2$ $-1<x^2<3$ $|x|<\sqrt{3}$ i tam podstawiamy $t=\frac{x^2-1}{2}$ Masz wzór na szereg geometryczny $a_1*\frac{1}{1-q}$ Jeśli sumujesz od n=0, to $ a_1=1$ Jeśli sumujesz od n=1, to $ a_1=q$. Stąd różnice w rozwiązaniach poszczególnych zadań. |
jacek00 postów: 11 | 2015-11-03 11:58:55 Zadanie wydaję się rzeczywiście bardzo łatwe, aż jestem tym zdziwiony. Czy dobrze rozumiem, że dla szeregu geometrycznego nie trzeba liczyć promienia zbieżności? Bo jest to z góry $-1<x<1 $? Wiadomość była modyfikowana 2015-11-03 12:00:58 przez jacek00 |
tumor postów: 8070 | 2015-11-03 14:03:53 Jeśli szereg jest postaci $\sum t^n$ to zbieżność zależy wyłącznie od tego, czy $t\in (-1,1)$ czy nie. Jeśli nie jest w tym przedziale, to nie spełnia warunku koniecznego zbieżności. Jeśli jest w tym przedziale, to mamy $(1+t+t^2+...+t^n)(1-t)=1-t^{n+1}$ stąd $(1+t+t^2+...+t^n)=\frac{1-t^{n+1}}{1-t}$ a przy $n\to \infty$ będzie dla $t\in (-1,1)$ $(1+t+t^2+...+t^n+...)=\frac{1}{1-t}$ Możemy też obie strony pomnożyć przez t, otrzymując $(t+t^2+...+t^n+...)=t*\frac{1}{1-t}$ Stąd oba wzory na sumy szeregów, zależnie od tego czy n zaczynamy od 0 czy od 1. Jak widać używamy w środku tego warunku, że $t\in (-1,1)$, bo wtedy $t^n\to 0$, czyli możemy ten fragment pominąć we wzorze na sumę. (Korzystamy zatem ze wzorów na granicę sumy/różnicy/iloczynu/ilorazu ciągów) |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj