Analiza matematyczna, zadanie nr 3742
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
jacek00 post贸w: 11 |  2015-11-01 22:49:50Zbadaj przedzia艂 zbie偶no艣ci i sum臋 szeregu $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x^2-1)^n}{2}$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-11-01 22:50:08 przez jacek00 |
jacek00 post贸w: 11 | 2015-11-01 23:28:52 M贸g艂by mi kto艣 wyja艣ni膰 jak rozwi膮zywa膰 tego typu szeregi? |
tumor post贸w: 8070 | 2015-11-02 10:14:39 Olaboga, masz przemy艣le膰 zbie偶no艣膰. Je艣li $-1<x^2-1<1$ to $(x^2-1)^n\to 0 $ Bez dzielenia przez dwa $\sum (x^2-1)^n$ jest szeregiem zbie偶nym, bo to po prostu szereg geometryczny z $|q|<1$. Dla pozosta艂ych x szereg jest oczywi艣cie rozbie偶ny, bo ci膮g nie spe艂nia warunku koniecznego zbie偶no艣ci szeregu $a_n\to 0$. Zadanie polega na prostym przeczytaniu, z czym ma si臋 do czynienia. Czytaniu ze zrozumieniem. Rozwi膮zanie przez \"tajemnicz膮 metod臋 kt贸rej nigdy nie zrozumiem ale b臋d臋 stosowa艂\" zostawiamy kalkulatorom. --- $\sum_{n=1}^{\infty} t^n=t*\frac{1}{1-t}$ $\sum_{n=1}^{\infty} (x^2-1)^n=(x^2-1)*\frac{1}{1-(x^2-1)}$ a jak dzielimy wszystkie sk艂adniki przez 2, to i suma b臋dzie 2 razy mniejsza. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-11-02 10:17:41 przez tumor |
jacek00 post贸w: 11 | 2015-11-02 23:05:02 Mo偶esz sprawdzi膰 czy dobrze? $t = \frac{x^2-1}{2}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x^2-1)^n}{2} = \sum_{n=1}^{\infty}t^n$ $t+t^2+t^3...$ $S = \frac{t}{1-t} = \frac{\frac{x^2-1}{2}}{1-\frac{x^2-1}{2}}$ Po przekszta艂ceniu $S =- \frac{x^2-1}{x^2+1}$ I to jest moja suma tak? A obszar zbie偶no艣ci to $ x\in (1,\sqrt{3})?$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-11-02 23:53:16 przez jacek00 |
tumor post贸w: 8070 | 2015-11-03 07:06:06 Masz dwa podobne zadania. W jednym liczysz sum臋 $(\frac{x^2-1}{2})^n$, a w jednym $\frac{(x^2-1)^n}{2}$ To nie s膮 takie same zadania. Je艣li przyk艂adem jest $\frac{(x^2-1)^n}{2}$, to $t=(x^2-1)$, co zreszt膮 napisa艂em. Halo. Przyk艂ad jest wy偶ej napisany i rozwi膮zany prawie w ca艂o艣ci. Dzielenie przez 2 uwzgl臋dnia si臋 dziel膮c ostateczn膮 sum臋 przez 2. I ju偶. Obszar zbie偶no艣ci liczymy rozwi膮zuj膮c $-1<x^2-1<1$ czyli $0<x^2<2$ czyli $0<|x|<\sqrt{2}$ W przyk艂adzie $(\frac{x^2-1}{2})^n$ liczymy $-1<\frac{x^2-1}{2}<1$ $-2<x^2-1<2$ $-1<x^2<3$ $|x|<\sqrt{3}$ i tam podstawiamy $t=\frac{x^2-1}{2}$ Masz wz贸r na szereg geometryczny $a_1*\frac{1}{1-q}$ Je艣li sumujesz od n=0, to $ a_1=1$ Je艣li sumujesz od n=1, to $ a_1=q$. St膮d r贸偶nice w rozwi膮zaniach poszczeg贸lnych zada艅. |
jacek00 post贸w: 11 | 2015-11-03 11:58:55 Zadanie wydaj臋 si臋 rzeczywi艣cie bardzo 艂atwe, a偶 jestem tym zdziwiony. Czy dobrze rozumiem, 偶e dla szeregu geometrycznego nie trzeba liczy膰 promienia zbie偶no艣ci? Bo jest to z g贸ry $-1<x<1 $? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-11-03 12:00:58 przez jacek00 |
tumor post贸w: 8070 | 2015-11-03 14:03:53 Je艣li szereg jest postaci $\sum t^n$ to zbie偶no艣膰 zale偶y wy艂膮cznie od tego, czy $t\in (-1,1)$ czy nie. Je艣li nie jest w tym przedziale, to nie spe艂nia warunku koniecznego zbie偶no艣ci. Je艣li jest w tym przedziale, to mamy $(1+t+t^2+...+t^n)(1-t)=1-t^{n+1}$ st膮d $(1+t+t^2+...+t^n)=\frac{1-t^{n+1}}{1-t}$ a przy $n\to \infty$ b臋dzie dla $t\in (-1,1)$ $(1+t+t^2+...+t^n+...)=\frac{1}{1-t}$ Mo偶emy te偶 obie strony pomno偶y膰 przez t, otrzymuj膮c $(t+t^2+...+t^n+...)=t*\frac{1}{1-t}$ St膮d oba wzory na sumy szereg贸w, zale偶nie od tego czy n zaczynamy od 0 czy od 1. Jak wida膰 u偶ywamy w 艣rodku tego warunku, 偶e $t\in (-1,1)$, bo wtedy $t^n\to 0$, czyli mo偶emy ten fragment pomin膮膰 we wzorze na sum臋. (Korzystamy zatem ze wzor贸w na granic臋 sumy/r贸偶nicy/iloczynu/ilorazu ci膮g贸w) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj