logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3742

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

jacek00
postów: 11
2015-11-01 22:49:50

Zbadaj przedział zbieżności i sumę szeregu

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x^2-1)^n}{2}$

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-01 22:50:08 przez jacek00

jacek00
postów: 11
2015-11-01 23:28:52

Mógłby mi ktoś wyjaśnić jak rozwiązywać tego typu szeregi?


tumor
postów: 8070
2015-11-02 10:14:39

Olaboga, masz przemyśleć zbieżność.

Jeśli $-1<x^2-1<1$
to $(x^2-1)^n\to 0 $
Bez dzielenia przez dwa $\sum (x^2-1)^n$ jest szeregiem zbieżnym, bo to po prostu szereg geometryczny z $|q|<1$.

Dla pozostałych x szereg jest oczywiście rozbieżny, bo ciąg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregu $a_n\to 0$.

Zadanie polega na prostym przeczytaniu, z czym ma się do czynienia. Czytaniu ze zrozumieniem. Rozwiązanie przez "tajemniczą metodę której nigdy nie zrozumiem ale będę stosował" zostawiamy kalkulatorom.


---

$\sum_{n=1}^{\infty} t^n=t*\frac{1}{1-t}$
$\sum_{n=1}^{\infty} (x^2-1)^n=(x^2-1)*\frac{1}{1-(x^2-1)}$
a jak dzielimy wszystkie składniki przez 2, to i suma będzie 2 razy mniejsza.

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-02 10:17:41 przez tumor

jacek00
postów: 11
2015-11-02 23:05:02

Możesz sprawdzić czy dobrze?

$t = \frac{x^2-1}{2}$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x^2-1)^n}{2} = \sum_{n=1}^{\infty}t^n$

$t+t^2+t^3...$

$S = \frac{t}{1-t} = \frac{\frac{x^2-1}{2}}{1-\frac{x^2-1}{2}}$

Po przekształceniu

$S =- \frac{x^2-1}{x^2+1}$

I to jest moja suma tak?

A obszar zbieżności to
$ x\in (1,\sqrt{3})?$



Wiadomość była modyfikowana 2015-11-02 23:53:16 przez jacek00

tumor
postów: 8070
2015-11-03 07:06:06

Masz dwa podobne zadania. W jednym liczysz sumę
$(\frac{x^2-1}{2})^n$, a w jednym
$\frac{(x^2-1)^n}{2}$

To nie są takie same zadania. Jeśli przykładem jest
$\frac{(x^2-1)^n}{2}$, to $t=(x^2-1)$, co zresztą napisałem. Halo. Przykład jest wyżej napisany i rozwiązany prawie w całości. Dzielenie przez 2 uwzględnia się dzieląc ostateczną sumę przez 2. I już.

Obszar zbieżności liczymy rozwiązując
$-1<x^2-1<1$
czyli
$0<x^2<2$
czyli
$0<|x|<\sqrt{2}$

W przykładzie $(\frac{x^2-1}{2})^n$ liczymy
$-1<\frac{x^2-1}{2}<1$
$-2<x^2-1<2$
$-1<x^2<3$
$|x|<\sqrt{3}$

i tam podstawiamy $t=\frac{x^2-1}{2}$


Masz wzór na szereg geometryczny $a_1*\frac{1}{1-q}$
Jeśli sumujesz od n=0, to $ a_1=1$
Jeśli sumujesz od n=1, to $ a_1=q$. Stąd różnice w rozwiązaniach poszczególnych zadań.




jacek00
postów: 11
2015-11-03 11:58:55

Zadanie wydaję się rzeczywiście bardzo łatwe, aż jestem tym zdziwiony.

Czy dobrze rozumiem, że dla szeregu geometrycznego nie trzeba liczyć promienia zbieżności? Bo jest to z góry $-1<x<1 $?

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-03 12:00:58 przez jacek00

tumor
postów: 8070
2015-11-03 14:03:53

Jeśli szereg jest postaci
$\sum t^n$
to zbieżność zależy wyłącznie od tego, czy $t\in (-1,1)$ czy nie.

Jeśli nie jest w tym przedziale, to nie spełnia warunku koniecznego zbieżności. Jeśli jest w tym przedziale, to mamy

$(1+t+t^2+...+t^n)(1-t)=1-t^{n+1}$
stąd
$(1+t+t^2+...+t^n)=\frac{1-t^{n+1}}{1-t}$
a przy $n\to \infty$ będzie dla $t\in (-1,1)$
$(1+t+t^2+...+t^n+...)=\frac{1}{1-t}$

Możemy też obie strony pomnożyć przez t, otrzymując
$(t+t^2+...+t^n+...)=t*\frac{1}{1-t}$
Stąd oba wzory na sumy szeregów, zależnie od tego czy n zaczynamy od 0 czy od 1.
Jak widać używamy w środku tego warunku, że $t\in (-1,1)$, bo wtedy
$t^n\to 0$, czyli możemy ten fragment pominąć we wzorze na sumę. (Korzystamy zatem ze wzorów na granicę sumy/różnicy/iloczynu/ilorazu ciągów)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 15 drukuj