Analiza matematyczna, zadanie nr 3750
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
ja9609 post贸w: 28 |  2015-11-02 12:31:49Dany jest ci膮g $a_{n}$ i $a_{1}$=$a_{2}$=1 i $2a_{n+2}$=$2a_{n+1}$+$a_{n}$ (n=1,2,3,...) Wyka偶, 偶e $a_{n}$= $\frac{1}{\sqrt{3}}$($(\frac{1+\sqrt{3}}{2}$)^n - ($\frac{1-\sqrt{3}}{2}$)^n) Znale藕膰 granic臋 $\sqrt[n]{a_{n}}$ |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-11-02 21:19:10 Przekszta艂camy wz贸r rekurencyjny ci膮gu $ (a_{n})$ do postaci $ a_{n+2}- a_{n+1} -\frac{1}{2}a_{n}= 0.$ Otrzymali艣my r贸wnanie r贸偶nicowe rz臋du II -jednorodne. R贸wnanie charakterystyczne: $z^2 -z -\frac{1}{2}=0,$ Pierwiastki r贸wnania charakterystycznego $z_{1}= \frac{1-\sqrt{3}}{2}, \ \ z_{2}= \frac{1+\sqrt{3}}{2}.$ Rozwi膮zanie og贸lne r贸wnania: $a_{n}= C_{1}\left( \frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)^{n} + C_{2}\left( \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^{n}.$ Sta艂e $C_{1}, C_{2}$ wyznaczamy z warunk贸w pocz膮tkowych $1= C_{1}\left( \frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)^{1} + C_{2}\left( \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^{1}.$ $1 =C_{1}\left( \frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)^{2} + C_{2}\left( \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.$ $C_{1}= -\frac{1}{\sqrt{3}}, C_{2}= \frac{1}{\sqrt{3}}.$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-11-02 21:46:13 przez janusz78 |
tumor post贸w: 8070 | 2015-11-02 21:57:32 W celu obliczenia granicy korzystamy z faktu, 偶e $\sqrt[n]{a}\to 1$ dla dowolnego $a$ dodatniego. oraz z twierdzenia o trzech ci膮gach $\sqrt[n]{\frac{1}{1293874978234}*(\frac{1+\sqrt{3}}{2})^n}\le \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{3}}*((\frac{1+\sqrt{3}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{3}}{2})^n)}\le \sqrt[n]{876238462*(\frac{1+\sqrt{3}}{2})^n}$ granic膮 jest $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-11-02 21:58:49 $\lim_{n\to \infty}a_{n}= \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{3}}((\frac{1+\sqrt{3}}{2})^{n}+ (\frac{1-\sqrt{3}}{2})^{n})}.$ Wy艂膮czaj膮c $\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^{n} $ przed znak pierwiastka otrzymamy $\lim_{n\to \infty}a_{n} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}.$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj