logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3750

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

ja9609
postów: 28
2015-11-02 12:31:49

Dany jest ciąg $a_{n}$ i
$a_{1}$=$a_{2}$=1 i $2a_{n+2}$=$2a_{n+1}$+$a_{n}$ (n=1,2,3,...)
Wykaż, że $a_{n}$= $\frac{1}{\sqrt{3}}$($(\frac{1+\sqrt{3}}{2}$)^n - ($\frac{1-\sqrt{3}}{2}$)^n)
Znaleźć granicę $\sqrt[n]{a_{n}}$



janusz78
postów: 820
2015-11-02 21:19:10


Przekształcamy wzór rekurencyjny ciągu $ (a_{n})$ do postaci

$ a_{n+2}- a_{n+1} -\frac{1}{2}a_{n}= 0.$

Otrzymaliśmy równanie różnicowe rzędu II -jednorodne.

Równanie charakterystyczne:

$z^2 -z -\frac{1}{2}=0,$

Pierwiastki równania charakterystycznego

$z_{1}= \frac{1-\sqrt{3}}{2}, \ \ z_{2}= \frac{1+\sqrt{3}}{2}.$

Rozwiązanie ogólne równania:

$a_{n}= C_{1}\left( \frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)^{n} + C_{2}\left( \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^{n}.$

Stałe $C_{1}, C_{2}$ wyznaczamy z warunków początkowych

$1= C_{1}\left( \frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)^{1} + C_{2}\left( \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^{1}.$

$1 =C_{1}\left( \frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)^{2} + C_{2}\left( \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.$

$C_{1}= -\frac{1}{\sqrt{3}}, C_{2}= \frac{1}{\sqrt{3}}.$

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-02 21:46:13 przez janusz78

tumor
postów: 8070
2015-11-02 21:57:32

W celu obliczenia granicy korzystamy z faktu, że

$\sqrt[n]{a}\to 1$ dla dowolnego $a$ dodatniego.
oraz z twierdzenia o trzech ciągach

$\sqrt[n]{\frac{1}{1293874978234}*(\frac{1+\sqrt{3}}{2})^n}\le \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{3}}*((\frac{1+\sqrt{3}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{3}}{2})^n)}\le \sqrt[n]{876238462*(\frac{1+\sqrt{3}}{2})^n}$
granicą jest
$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$


janusz78
postów: 820
2015-11-02 21:58:49

$\lim_{n\to \infty}a_{n}= \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{3}}((\frac{1+\sqrt{3}}{2})^{n}+ (\frac{1-\sqrt{3}}{2})^{n})}.$

Wyłączając

$\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^{n} $

przed znak pierwiastka otrzymamy

$\lim_{n\to \infty}a_{n} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 48 drukuj