Analiza matematyczna, zadanie nr 3750

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ja9609 postów: 28	2015-11-02 12:31:49 Dany jest ciąg $a_{n}$ i $a_{1}$=$a_{2}$=1 i $2a_{n+2}$=$2a_{n+1}$+$a_{n}$ (n=1,2,3,...) Wykaż, że $a_{n}$= $\frac{1}{\sqrt{3}}$($(\frac{1+\sqrt{3}}{2}$)^n - ($\frac{1-\sqrt{3}}{2}$)^n) Znaleźć granicę $\sqrt[n]{a_{n}}$

janusz78 postów: 820	2015-11-02 21:19:10 Przekształcamy wzór rekurencyjny ciągu $ (a_{n})$ do postaci $ a_{n+2}- a_{n+1} -\frac{1}{2}a_{n}= 0.$ Otrzymaliśmy równanie różnicowe rzędu II -jednorodne. Równanie charakterystyczne: $z^2 -z -\frac{1}{2}=0,$ Pierwiastki równania charakterystycznego $z_{1}= \frac{1-\sqrt{3}}{2}, \ \ z_{2}= \frac{1+\sqrt{3}}{2}.$ Rozwiązanie ogólne równania: $a_{n}= C_{1}\left( \frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)^{n} + C_{2}\left( \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^{n}.$ Stałe $C_{1}, C_{2}$ wyznaczamy z warunków początkowych $1= C_{1}\left( \frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)^{1} + C_{2}\left( \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^{1}.$ $1 =C_{1}\left( \frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)^{2} + C_{2}\left( \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.$ $C_{1}= -\frac{1}{\sqrt{3}}, C_{2}= \frac{1}{\sqrt{3}}.$ Wiadomość była modyfikowana 2015-11-02 21:46:13 przez janusz78

tumor postów: 8070	2015-11-02 21:57:32 W celu obliczenia granicy korzystamy z faktu, że $\sqrt[n]{a}\to 1$ dla dowolnego $a$ dodatniego. oraz z twierdzenia o trzech ciągach $\sqrt[n]{\frac{1}{1293874978234}(\frac{1+\sqrt{3}}{2})^n}\le \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{3}}((\frac{1+\sqrt{3}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{3}}{2})^n)}\le \sqrt[n]{876238462*(\frac{1+\sqrt{3}}{2})^n}$ granicą jest $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

janusz78 postów: 820	2015-11-02 21:58:49 $\lim_{n\to \infty}a_{n}= \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{3}}((\frac{1+\sqrt{3}}{2})^{n}+ (\frac{1-\sqrt{3}}{2})^{n})}.$ Wyłączając $\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^{n} $ przed znak pierwiastka otrzymamy $\lim_{n\to \infty}a_{n} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj