logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3754

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

student113
postów: 156
2015-11-02 20:46:59

Obliczyć granice ciągów:

a)$\lim_{n \to \infty}\frac{ln(n^3+3n+4)}{ln(n^4+3n+3)}$

nie wiem jak pozbyć się tych logarytmów


tumor
postów: 8070
2015-11-02 20:55:41

Sprawnie wyjdzie z twierdzenia o trzech ciągach.

Nie trzeba pozbywać się logarytmów. Jakie wybierzesz ograniczenia dolne i górne?


student113
postów: 156
2015-11-02 21:06:52

Nie mam pojęcia, myślałem żeby od góry wybrać ln z licznika, ale to nic mi nie daje, no i nie wiem co wziąć z dołu. Myślałem też coś z liczbą e ,ale też nie wiem jak to ugryźć. Może jakaś mała podpowiedź?


tumor
postów: 8070
2015-11-02 21:11:45

zrób z $\frac{ln (x^3+x^3)}{ln(x^4)}$ i $\frac{ln (x^3)}{ln(x^4+x^4)}$


student113
postów: 156
2015-11-02 21:23:15

I tak nie mam pojęcia, i tak są logarytmy, chodzi o to że nie wiem nawet jak obliczyć granice z np. $ln(x^3+x^3)$


tumor
postów: 8070
2015-11-02 21:45:21

Oj dziecko. Przecież tu nic nie ma trudnego. Sam się strachem ograniczasz.
dla $n\ge 3$ mamy
$\frac{ln(n^3)}{ln(n^4+n^4)}\le \frac{ln(n^3+3n+4)}{ln(n^4+3n+3)}\le \frac{ln(n^3+n^3)}{ln(n^4)}$
czyli
$\frac{3ln(n)}{4ln(n)+ln2}\le \frac{ln(n^3+3n+4)}{ln(n^4+3n+3)}\le \frac{3ln(n)+ln2}{4ln(n)}$

a następnie wykonujemy podobny manewr jak dla $n$

$\frac{3*\frac{ln(n)}{ln(n)}}{4*\frac{ln(n)}{ln(n)}+\frac{ln2}{ln(n)}}\le \frac{ln(n^3+3n+4)}{ln(n^4+3n+3)}\le \frac{3*\frac{ln(n)}{ln(n)}+\frac{ln2}{ln(n)}}{4*\frac{ln(n)}{ln(n)}}$

Widać już, że skrajne ciągi mają granicę $\frac{3}{4}$?

Korzystałem tylko ze wzoru, że $log_a(bc)=log_ab+log_ac$ dla dowolnego $a$ dodatniego różnego od 1 i dla dodatnich $b,c$


student113
postów: 156
2015-11-02 22:00:57

$ \frac{3*\frac{ln(n)}{ln(n)}}{4*\frac{ln(n)}{ln(n)}+\frac{ln2}{ln(n)}}\le \frac{ln(n^3+3n+4)}{ln(n^4+3n+3)}\le \frac{3*\frac{ln(n)}{ln(n)}+\frac{ln2}{ln(n)}}{4*\frac{ln(n)}{ln(n)}}$

nie wiem skąd wziął się ten zapis, dlaczego podzieliłeś wszystko przez $ln(n)$


tumor
postów: 8070
2015-11-02 22:08:39

bo mogłem.

Od czasów gimnazjum rozszerzasz ułamki, a ten proces to na przykład
$\frac{3}{7}*\frac{5}{5}=\frac{15}{35}$
czyli pomnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę.

Czemu na studiach masz problem z tym gimnazjalnym postępowaniem, jeśli zastąpię liczbę 5 jakąś inną, na przykład $\frac{1}{ln(n)}$? obie te liczby są dodatnie i mogę przez nie mnożyć lub dzielić.

Nie zadawaj mi pytania, skąd ja wziąłem te czary. Zadaj sobie, czemu robisz coś co najmniej sześć lat i nagle zapominasz, jak to robić.


student113
postów: 156
2015-11-02 22:14:02

$3ln(n)*\frac{ln(n)}{ln(n)}=\frac{3(ln(n))^2}{ln(n)}$
takie coś rozumie


student113
postów: 156
2015-11-02 22:23:01

$\lim_{n \to\infty}\frac{ln(n^3)}{ln(n^4+n^4}=\lim_{n \to \infty}\frac{3ln(n)}{4ln(n)+ln(2)}=\lim_{n \to \infty}\frac{3ln(n)}{4ln(n)(1+\frac{ln(2)}{4ln(n)})}$

i logarytm naturalny w liczniku i mianowniku się skróci a $\frac{ln(2)}{4ln(n)}$ dąży do zera, bo to $\frac{liczba}{\infty}$
Wynik $\frac{3}{4}$
Tak to rozumie

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-02 22:26:00 przez student113
strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 43 drukuj