logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3759

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

student113
postów: 156
2015-11-03 14:18:57

1. Oblicz granice ciągów:

a)$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{2(sin\frac{n^(2011)}{n+1})^2+(cos\frac{n^(2011)}{n+1})^2}=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{(sin\frac{n^(2011)}{n+1})^2+(sin\frac{n^(2011)}{n+1})^2+(cos\frac{n^(2011)}{n+1})^2}=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{(sin\frac{n^(2011)}{n+1})^2+1}$

i teraz

$\sqrt[n]{0+1}\le\sqrt[n]{(sin\frac{n^(2011)}{n+1})^2+1}\le\sqrt[n]{1+1}$

z tego
$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{1}=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{2}=1$

stąd $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{(sin\frac{n^(2011)}{n+1})^2+1}=1$

Może ktoś sprawdzić czy dobrze?


tumor
postów: 8070
2015-11-03 14:25:48

oszacowanie przez $\sqrt[n]{1}$ i $\sqrt[n]{2}$ jest słuszne, poprawne korzystanie z jedynki trygonometrycznej. Wszystko gra (może poza niezbyt równym zapisem, jak chcesz mieć wykładnik z kilku znaków, to weź go w nawias klamrowy podstawa^{wykladnik} da $podstawa^{wykladnik}$)


student113
postów: 156
2015-11-03 14:26:25

b)$\lim_{n \to \infty}(5+(-1)^n)^n$

$(5-1)^n\le(5+(-1)^n)^n\le(5+1)^n$

nie wiem czy tak można, w tym przypadku granica równała by się $\infty$, ale nie wiem czy to jest dobry sposób rozwiązania


student113
postów: 156
2015-11-03 14:36:37

c) $\lim_{n \to \infty}\frac{n+sin (n^2)}{n+cos(n)}$


$\frac{n}{n+1}\le\frac{n+sin(n^2)}{n+cos(n)}\le\frac{n+1}{n-1}$

granica wyjdzie 1, dobrze?


student113
postów: 156
2015-11-03 14:43:42

d) $(n+1+n * cos(n))^{\frac{1}{2n+n * sin(n)}}$

Nie wiem jak się do tego zabrać, z trzech ciągów?


tumor
postów: 8070
2015-11-03 14:57:52

b) jeśli granica jest równa $\infty$, to nie potrzebujesz dwóch ciągów. Wystarczy wtedy ograniczenie dolne, to znaczy na przykład

$3^n\le (5+(-1)^n)^n$
i wiedza, że $3^n\to \infty$
Już nic większego niż $\infty$ się nie zdarzy, zatem górnego ograniczenia podawać nie musisz.

c) dolne oszacowanie zrobiłbym jednak
$\frac{n-1}{n+1}$, bo do kwadratu jest n, a nie cały sinus.
Poza tym jest dobrze, granica wyjdzie rzeczywiście 1.

d) z trzech ciągów, tak. Korzystamy z $\sqrt[n]{n}\to 1$



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 38 drukuj