logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3760

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

student113
postów: 156
2015-11-03 14:56:37

Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym pokazać że ciąg $\sqrt[n]{n}$ jest zbieżny. Znaleźć granicę tego ciągu.

Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny, ale nie wiem co z tego wynika. W ogóle nie wiem czy jest to ciąg monotoniczny $\sqrt[1]{1}<\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}>\sqrt[4]{4}>\sqrt[5]{5}$

Proszę o pomoc


tumor
postów: 8070
2015-11-03 15:45:59

trochę Ci się obróciły znaki nierówności.

By pokazać monotoniczność wystarczy pokazać nierówność między
$n^\frac{1}{n}$ $\mbox{ }$ oraz $\mbox{ }$ $(n+1)^\frac{1}{n+1}$
Można podnieść stronami do odpowiedniej potęgi, n jest dodatnia, potęgi całkowite dodatnie nie zmienią znaku nierówności.
I jak? Wyszło? Która strona jest większa? Prawa? Lewa?

Napisałem już w innym zadaniu, że $ \sqrt[n]{n}\to 1$, więc z tego tajemnicy robić nie będę.

Przyjmijmy $\epsilon>0$
Wiemy, że $\frac{1}{n-1}\to 0$
oraz skorzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona
$(a+b)^n=\sum_{i=0}^n {n \choose i}a^ib^{n-i}$

$n=(\sqrt[n]{n})^n=(1+(\sqrt[n]{n}-1))^n$
(liczba $(\sqrt[n]{n}-1)$ jest, zauważ, dodatnia)
$(1+(\sqrt[n]{n}-1))^n=\sum_{i=0}^n {n \choose i}(\sqrt[n]{n}-1)^i\ge {n \choose 2}*(\sqrt[n]{n}-1)^2=\frac{n(n-1)}{2}*(\sqrt[n]{n}-1)^2$
Nierówność wynika stąd, że wszystkie wyrazy sumy są dodatnie, cała suma musi być zatem większa niż jej drugi wyraz.

Mamy zatem
$n\ge \frac{n(n-1)}{2}*(\sqrt[n]{n}-1)^2$
czyli
$\frac{2}{n-1}\ge (\sqrt[n]{n}-1)^2$
Lewa strona ma granicę w 0, czyli dla pewnego $n_0$ i dla wszystkich n większych mamy
$\epsilon^2>\frac{2}{n-1}\ge (\sqrt[n]{n}-1)^2$
$\sqrt{\epsilon^2} \ge \sqrt[n]{n}-1$
$1+\epsilon>\sqrt[n]{n}>1$
co wobec dowolności doboru $\epsilon$ oznacza
$\sqrt[n]{n}\to 1$



student113
postów: 156
2015-11-03 16:15:33

Szczerze, to dalej nie rozumie, o dziwo ten fragment z sumą i symbolem Newtona jakoś rozumie.

Po pierwsze, nie wiem może ja do tego źle podchodzę, może źle rozumuje i stąd biorą się moje błędy, ale gdzie jak nie tu mogę się o tym dowiedzieć. Więc zacznijmy od początku:
$\sqrt[1]{1}=1,
\sqrt{2}\approx 1.4142, \sqrt[3]{3}\approx 1.4422, \sqrt[4]{4}\approx 1.4142, \sqrt[5]{5}\approx 1.3797 $
stąd $\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$
$\sqrt[3]{3}>\sqrt[4]{4}$

Po drugie, jak zapisać poszukiwanie nierówności dwóch kolejnych wyrazów. Próbowałem je odejmować, ale nie wiem jak "podnieść stronami do odpowiedniej potęgi".


tumor
postów: 8070
2015-11-03 16:24:46

$ n^\frac{1}{n} \ldots \ldots (n+1)^\frac{1}{n+1}$
stronami do potęgi n i stronami do potęgi n+1.
Podnoszenie dodatnich wyrazów do naturalnych potęg nie zmienia znaku nierówności.
$n^{n+1} \ldots \ldots (n+1)^n$
$n*n^{n}\ldots \ldots (n+1)^n$

W tym miejscu masz kilka możliwości. Możesz skorzystać z granicy ciągu e, jeśli już się pojawiła. Możesz prawą stronę rozwinąć ze wzoru dwumianowego. Początkowe elementy nie są istotne. Istotne jest, co się dzieje dla dużych n. Któraś strona będzie większa. Tylko lewa czy prawa? :)





student113
postów: 156
2015-11-03 16:47:12

$n*n^{n}\ldots \ldots (n+1)^n$
$n*n^{n}\ldots \ldots [(1+n)^{\frac{1}{n}}]^{\frac{n}{\frac{1}{n}}}$

$\lim_{n \to \infty}\frac{n}{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}n^2=\infty$

$n*n^{n}\ldots \ldots e^{\infty}$

Nie wiem co to mi to wychodzi. Wyjdzie nieskończoność i nieskończoność a miałem sprawdzić które jest większe.


tumor
postów: 8070
2015-11-03 16:53:37

to po co liczysz od razu granicę? :)

Możesz
$n \ldots \ldots (\frac{n+1}{n})^n$


a możesz

$n*n^n \ldots \ldots (n+1)^n=\sum_{i=0}^{n}{n \choose i} n^i$
w czym pomoże oszacowanie, która z liczb jest większa

$n^n$ czy ${n \choose i} n^i$


student113
postów: 156
2015-11-03 17:03:08

z mojego wnioskowania na oko to:

$n>(\frac{n+1}{n})^n$

nie wiem jak to udowodnić


tumor
postów: 8070
2015-11-03 17:10:56

Skoro udowodniliście na zajęciach, że
($\frac{n+1}{n})^n$ ma skończoną granicę (e), to znaczy, że dla dowolnego $\epsilon>0$ prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze niż $e+\epsilon$.

Zatem
$e+\epsilon>(\frac{n+1}{n})^n$ dla prawie wszystkich n naturalnych (czyli dla wszystkich powyżej pewnego $n_0$).
Stąd $n>(\frac{n+1}{n})^n$ dla $n>max(e+\epsilon, n_0)$.


--------

Natomiast drugim sposobem mamy
${n \choose i}n^i=\frac{n!}{i!(n-i)!}*n^i=\frac{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-i+1)}{i!}*n^i< \frac{n^{n-i}}{i!}n^i \le n^n$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 21 drukuj