Analiza matematyczna, zadanie nr 3760
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
student113 post贸w: 156 |  2015-11-03 14:56:37Korzystaj膮c z twierdzenia o ci膮gu monotonicznym i ograniczonym pokaza膰 偶e ci膮g $\sqrt[n]{n}$ jest zbie偶ny. Znale藕膰 granic臋 tego ci膮gu. Ka偶dy ci膮g monotoniczny i ograniczony jest zbie偶ny, ale nie wiem co z tego wynika. W og贸le nie wiem czy jest to ci膮g monotoniczny $\sqrt[1]{1}<\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}>\sqrt[4]{4}>\sqrt[5]{5}$ Prosz臋 o pomoc |
tumor post贸w: 8070 | 2015-11-03 15:45:59 troch臋 Ci si臋 obr贸ci艂y znaki nier贸wno艣ci. By pokaza膰 monotoniczno艣膰 wystarczy pokaza膰 nier贸wno艣膰 mi臋dzy $n^\frac{1}{n}$ $\mbox{ }$ oraz $\mbox{ }$ $(n+1)^\frac{1}{n+1}$ Mo偶na podnie艣膰 stronami do odpowiedniej pot臋gi, n jest dodatnia, pot臋gi ca艂kowite dodatnie nie zmieni膮 znaku nier贸wno艣ci. I jak? Wysz艂o? Kt贸ra strona jest wi臋ksza? Prawa? Lewa? Napisa艂em ju偶 w innym zadaniu, 偶e $ \sqrt[n]{n}\to 1$, wi臋c z tego tajemnicy robi膰 nie b臋d臋. Przyjmijmy $\epsilon>0$ Wiemy, 偶e $\frac{1}{n-1}\to 0$ oraz skorzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona $(a+b)^n=\sum_{i=0}^n {n \choose i}a^ib^{n-i}$ $n=(\sqrt[n]{n})^n=(1+(\sqrt[n]{n}-1))^n$ (liczba $(\sqrt[n]{n}-1)$ jest, zauwa偶, dodatnia) $(1+(\sqrt[n]{n}-1))^n=\sum_{i=0}^n {n \choose i}(\sqrt[n]{n}-1)^i\ge {n \choose 2}*(\sqrt[n]{n}-1)^2=\frac{n(n-1)}{2}*(\sqrt[n]{n}-1)^2$ Nier贸wno艣膰 wynika st膮d, 偶e wszystkie wyrazy sumy s膮 dodatnie, ca艂a suma musi by膰 zatem wi臋ksza ni偶 jej drugi wyraz. Mamy zatem $n\ge \frac{n(n-1)}{2}*(\sqrt[n]{n}-1)^2$ czyli $\frac{2}{n-1}\ge (\sqrt[n]{n}-1)^2$ Lewa strona ma granic臋 w 0, czyli dla pewnego $n_0$ i dla wszystkich n wi臋kszych mamy $\epsilon^2>\frac{2}{n-1}\ge (\sqrt[n]{n}-1)^2$ $\sqrt{\epsilon^2} \ge \sqrt[n]{n}-1$ $1+\epsilon>\sqrt[n]{n}>1$ co wobec dowolno艣ci doboru $\epsilon$ oznacza $\sqrt[n]{n}\to 1$ |
student113 post贸w: 156 | 2015-11-03 16:15:33 Szczerze, to dalej nie rozumie, o dziwo ten fragment z sum膮 i symbolem Newtona jako艣 rozumie. Po pierwsze, nie wiem mo偶e ja do tego 藕le podchodz臋, mo偶e 藕le rozumuje i st膮d bior膮 si臋 moje b艂臋dy, ale gdzie jak nie tu mog臋 si臋 o tym dowiedzie膰. Wi臋c zacznijmy od pocz膮tku: $\sqrt[1]{1}=1, \sqrt{2}\approx 1.4142, \sqrt[3]{3}\approx 1.4422, \sqrt[4]{4}\approx 1.4142, \sqrt[5]{5}\approx 1.3797 $ st膮d $\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$ $\sqrt[3]{3}>\sqrt[4]{4}$ Po drugie, jak zapisa膰 poszukiwanie nier贸wno艣ci dw贸ch kolejnych wyraz贸w. Pr贸bowa艂em je odejmowa膰, ale nie wiem jak \"podnie艣膰 stronami do odpowiedniej pot臋gi\". |
tumor post贸w: 8070 | 2015-11-03 16:24:46 $ n^\frac{1}{n} \ldots \ldots (n+1)^\frac{1}{n+1}$ stronami do pot臋gi n i stronami do pot臋gi n+1. Podnoszenie dodatnich wyraz贸w do naturalnych pot臋g nie zmienia znaku nier贸wno艣ci. $n^{n+1} \ldots \ldots (n+1)^n$ $n*n^{n}\ldots \ldots (n+1)^n$ W tym miejscu masz kilka mo偶liwo艣ci. Mo偶esz skorzysta膰 z granicy ci膮gu e, je艣li ju偶 si臋 pojawi艂a. Mo偶esz praw膮 stron臋 rozwin膮膰 ze wzoru dwumianowego. Pocz膮tkowe elementy nie s膮 istotne. Istotne jest, co si臋 dzieje dla du偶ych n. Kt贸ra艣 strona b臋dzie wi臋ksza. Tylko lewa czy prawa? :) |
student113 post贸w: 156 | 2015-11-03 16:47:12 $n*n^{n}\ldots \ldots (n+1)^n$ $n*n^{n}\ldots \ldots [(1+n)^{\frac{1}{n}}]^{\frac{n}{\frac{1}{n}}}$ $\lim_{n \to \infty}\frac{n}{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}n^2=\infty$ $n*n^{n}\ldots \ldots e^{\infty}$ Nie wiem co to mi to wychodzi. Wyjdzie niesko艅czono艣膰 i niesko艅czono艣膰 a mia艂em sprawdzi膰 kt贸re jest wi臋ksze. |
tumor post贸w: 8070 | 2015-11-03 16:53:37 to po co liczysz od razu granic臋? :) Mo偶esz $n \ldots \ldots (\frac{n+1}{n})^n$ a mo偶esz $n*n^n \ldots \ldots (n+1)^n=\sum_{i=0}^{n}{n \choose i} n^i$ w czym pomo偶e oszacowanie, kt贸ra z liczb jest wi臋ksza $n^n$ czy ${n \choose i} n^i$ |
student113 post贸w: 156 | 2015-11-03 17:03:08 z mojego wnioskowania na oko to: $n>(\frac{n+1}{n})^n$ nie wiem jak to udowodni膰  |
tumor post贸w: 8070 | 2015-11-03 17:10:56 Skoro udowodnili艣cie na zaj臋ciach, 偶e ($\frac{n+1}{n})^n$ ma sko艅czon膮 granic臋 (e), to znaczy, 偶e dla dowolnego $\epsilon>0$ prawie wszystkie wyrazy tego ci膮gu s膮 mniejsze ni偶 $e+\epsilon$. Zatem $e+\epsilon>(\frac{n+1}{n})^n$ dla prawie wszystkich n naturalnych (czyli dla wszystkich powy偶ej pewnego $n_0$). St膮d $n>(\frac{n+1}{n})^n$ dla $n>max(e+\epsilon, n_0)$. -------- Natomiast drugim sposobem mamy ${n \choose i}n^i=\frac{n!}{i!(n-i)!}*n^i=\frac{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-i+1)}{i!}*n^i< \frac{n^{n-i}}{i!}n^i \le n^n$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj