Algebra, zadanie nr 3762

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
student113 postów: 156	2015-11-03 18:42:14 Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym pokazać, że ciąg dany rekurencyjnie $[a_{1}=\sqrt{2}, a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}]$ jest zbieżny. Znaleźć granice.

tumor postów: 8070	2015-11-03 22:13:26 no i czemu nie piszesz żadnego pomysłu? $1<a_1<2$ $3<2+a_1<4$ $\sqrt{3}<a_2<2$ Rozumując podobnie dla dowolnego n dostajemy indukcyjnie, że wszystkie wyrazy ciągu są w przedziale (1,2), czyli ciąg jest ograniczony. Jeśli $a_n\in (1,2)$, to $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ $a_{n+1}^2=2+a_n>a_n+a_n=2a_n>a_n^2$ (bo $a_n<2$) czyli ciąg jest rosnący. Rosnący i ograniczony, zatem zbieżny. Oznaczmy $\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=a$ Przechodząc z wyrażeniem $a_{n+1}^2=2+a_n$ do granicy, dostajemy $a^2=2+a$ $a^2-a-2=0$ dostajemy rozwiązania 2 i -1 (drugie nie spełnia założeń odnośnie ciągu)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj