logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3762

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

student113
postów: 156
2015-11-03 18:42:14

Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym pokazać, że ciąg dany rekurencyjnie $[a_{1}=\sqrt{2}, a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}]$ jest zbieżny. Znaleźć granice.




tumor
postów: 8070
2015-11-03 22:13:26

no i czemu nie piszesz żadnego pomysłu?

$1<a_1<2$
$3<2+a_1<4$
$\sqrt{3}<a_2<2$

Rozumując podobnie dla dowolnego n dostajemy indukcyjnie, że wszystkie wyrazy ciągu są w przedziale (1,2), czyli ciąg jest ograniczony.

Jeśli $a_n\in (1,2)$, to
$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$
$a_{n+1}^2=2+a_n>a_n+a_n=2a_n>a_n^2$
(bo $a_n<2$)
czyli ciąg jest rosnący.

Rosnący i ograniczony, zatem zbieżny.
Oznaczmy $\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=a$

Przechodząc z wyrażeniem
$a_{n+1}^2=2+a_n$
do granicy, dostajemy
$a^2=2+a$
$a^2-a-2=0$
dostajemy rozwiązania 2 i -1 (drugie nie spełnia założeń odnośnie ciągu)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 114 drukuj