logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 3765

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

michmat698
postów: 12
2015-11-03 19:25:09

Cześć. Mam prośbe mógłby ktoś krok po kroku opisać mi rozwiązania dwóch zadań, bo w sobote mam zaliczenie i chciałbym to w końcu zrozumieć.
Zad 1 Oblicz:
A)$(1-i\sqrt{3})^{9}$
B)$\sqrt[4]{-4}$
C)$i^{123}$

zad 2
Rozwiązać równania:
A)$z^{3}=(1+i)^{6}$
B)$z^{4}=(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})^{6}$

Dzięki wielkie za odpowiedzi :)


tumor
postów: 8070
2015-11-03 22:31:12

Wszystkie zadania z tych powyżej można rozwiązać zapisując liczby zespolone w postaci trygonometrycznej.
Liczba $z=a+bi$ ma także zapis $z=\mid z \mid (cos\alpha+isin\alpha)$
gdzie $\mid z \mid$ jest liczbą rzeczywistą nieujemną, natomiast $\alpha \in [0,2\pi)$

Potęgowanie przebiega wg wzoru:
$z^n=\mid z \mid^n (cos(n\alpha)+isin(n\alpha))$
Pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym, n-tych pierwiastków zespolonych jest dla niezerowej liczby z zawsze dokładnie n. Są to

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\mid z \mid} (cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+isin\frac{\alpha+2k\pi}{n})$ dla $k=0,1,2,...,n-1$

(możesz sobie sprawdzić, że wszystkie n-te pierwiastki podniesione do n-tej potęgi dają wówczas wyjściową liczbę z.


i tak
1A) liczba to $2(\frac{1}{2}+i\frac{-\sqrt{3}}{2})=2(cos\frac{5\pi}{3}+isin\frac{5\pi}{3})$
podnosimy do potęgi ze wzoru, a potem możemy wrócić na postać algebraiczną, wyliczając wartości cos i sin

1B) $-4=4(cos\pi+isin\pi)$, pierwiastkujemy ze wzoru

1C) $i= 1(cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2})$
potęgujemy ze wzoru

----

2.
Jak wcześniej. Zapisujemy liczby w postaci trygonometrycznej, podnosimy do potęgi (tu 6) i pierwiastkujemy (pierwiastek stopnia 3 lub 4 zależnie od przykładu)


michmat698
postów: 12
2015-11-04 18:23:08

Dzięki wielkie za objaśnienie :) już coś tam "kapuje"

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 43 drukuj