Analiza matematyczna, zadanie nr 3766

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
jacek00 postów: 11	2015-11-03 20:26:06 Rozwiąż r.r $(xy^2+1)dx + (x^2y+1)dy = 0$ Potrafię rozwiązywać r.r jednorodne ale z trudem przychodzi mi rozwiązywanie takich przykładów, tzn. rozdzielenie x i y...

janusz78 postów: 820	2015-11-04 11:02:34 $ P(x,y) = xy^2 +1, \ \ Q(x,y)= x^2y +1$ Z teorii całki krzywoliniowej(w fizyce- teorii potencjału) wynika, że warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia funkcji pierwotnej $ F $ układu funkcji $ P,\ \ Q $ (współrzędnych pola wektorowego) przy założeniu ciągłości funkcji $P, Q $ oraz jej pochodnych cząstkowych rzędu I w obszarze jednospójnym jest równość $P'_{\|y}(x,y) = 2xy= Q'_{\|x}(x,y).$ Równanie jest równaniem zupełnym i znajdujemy jego funkcję pierwotną $ F $ Niech $ F'_{\|x}(x,y) = xy^2 +1$ (1) $ F'_{\|y}(x,y) = x^2y +1$ (2) Całkujemy równanie (1) $ F(x,y)= \frac{1}{2}x^2y^2 +x +\phi(y)$ (3) gdzie funkcja $ \phi$ pełni rolę stałej całkowania. Różniczkujemy (2) względem zmiennej $ y $ $ F'_{\|y}(x,y) = x^2y +\phi'(y)$ (4) Porównujemy (2), (4) $ x^2y +1 =x^y +\phi'(y),$ $\phi'(y) =1,$ $ \phi(y) =y + C_{1}$ (5) Podstawiamy (5) do (3) $F(x,y) =\frac{1}{2}x^2 y^2 + x +y + C_{1}.$ W konsekwencji całka ogólna równania ma postać $ \frac{1}{2}x^2 y^2 + x +y +C_{1} = C_{2},$ lub $\frac{1}{2}x^2 y^2 + x + y = C, \ \ C= C_{2}-C_{1}.$

jacek00 postów: 11	2015-11-12 21:11:48 Nie da się rozwiązać tego zadania np. poprzez uzmiennianie stałej? Takich metod rozwiązywania r.r jak powyżej nie miałem na zajęciach.

jacek00 postów: 11	2015-11-12 21:33:32 Już rozumiem dzięki Wiadomość była modyfikowana 2015-11-12 22:13:20 przez jacek00

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj