logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3766

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

jacek00
postów: 11
2015-11-03 20:26:06

Rozwiąż r.r

$(xy^2+1)dx + (x^2y+1)dy = 0$

Potrafię rozwiązywać r.r jednorodne ale z trudem przychodzi mi rozwiązywanie takich przykładów, tzn. rozdzielenie x i y...


janusz78
postów: 820
2015-11-04 11:02:34

$ P(x,y) = xy^2 +1, \ \ Q(x,y)= x^2y +1$

Z teorii całki krzywoliniowej(w fizyce- teorii potencjału) wynika, że warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia funkcji pierwotnej $ F $ układu funkcji $ P,\ \ Q $ (współrzędnych pola wektorowego) przy założeniu ciągłości funkcji $P, Q $ oraz jej pochodnych cząstkowych rzędu I w obszarze jednospójnym jest równość

$P'_{|y}(x,y) = 2xy= Q'_{|x}(x,y).$

Równanie jest równaniem zupełnym i znajdujemy jego funkcję pierwotną $ F $

Niech

$ F'_{|x}(x,y) = xy^2 +1$ (1)

$ F'_{|y}(x,y) = x^2y +1$ (2)

Całkujemy równanie (1)

$ F(x,y)= \frac{1}{2}x^2y^2 +x +\phi(y)$ (3)

gdzie funkcja $ \phi$ pełni rolę stałej całkowania.

Różniczkujemy (2) względem zmiennej $ y $

$ F'_{|y}(x,y) = x^2y +\phi'(y)$ (4)

Porównujemy (2), (4)

$ x^2y +1 =x^y +\phi'(y),$

$\phi'(y) =1,$

$ \phi(y) =y + C_{1}$ (5)

Podstawiamy (5) do (3)

$F(x,y) =\frac{1}{2}x^2 y^2 + x +y + C_{1}.$

W konsekwencji całka ogólna równania ma postać

$ \frac{1}{2}x^2 y^2 + x +y +C_{1} = C_{2},$

lub

$\frac{1}{2}x^2 y^2 + x + y = C, \ \ C= C_{2}-C_{1}.$




jacek00
postów: 11
2015-11-12 21:11:48

Nie da się rozwiązać tego zadania np. poprzez uzmiennianie stałej? Takich metod rozwiązywania r.r jak powyżej nie miałem na zajęciach.


jacek00
postów: 11
2015-11-12 21:33:32

Już rozumiem dzięki

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-12 22:13:20 przez jacek00
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 93 drukuj