Analiza matematyczna, zadanie nr 3766
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
jacek00 post贸w: 11 |  2015-11-03 20:26:06Rozwi膮偶 r.r $(xy^2+1)dx + (x^2y+1)dy = 0$ Potrafi臋 rozwi膮zywa膰 r.r jednorodne ale z trudem przychodzi mi rozwi膮zywanie takich przyk艂ad贸w, tzn. rozdzielenie x i y... |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-11-04 11:02:34 $ P(x,y) = xy^2 +1, \ \ Q(x,y)= x^2y +1$ Z teorii ca艂ki krzywoliniowej(w fizyce- teorii potencja艂u) wynika, 偶e warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia funkcji pierwotnej $ F $ uk艂adu funkcji $ P,\ \ Q $ (wsp贸艂rz臋dnych pola wektorowego) przy za艂o偶eniu ci膮g艂o艣ci funkcji $P, Q $ oraz jej pochodnych cz膮stkowych rz臋du I w obszarze jednosp贸jnym jest r贸wno艣膰 $P\'_{|y}(x,y) = 2xy= Q\'_{|x}(x,y).$ R贸wnanie jest r贸wnaniem zupe艂nym i znajdujemy jego funkcj臋 pierwotn膮 $ F $ Niech $ F\'_{|x}(x,y) = xy^2 +1$ (1) $ F\'_{|y}(x,y) = x^2y +1$ (2) Ca艂kujemy r贸wnanie (1) $ F(x,y)= \frac{1}{2}x^2y^2 +x +\phi(y)$ (3) gdzie funkcja $ \phi$ pe艂ni rol臋 sta艂ej ca艂kowania. R贸偶niczkujemy (2) wzgl臋dem zmiennej $ y $ $ F\'_{|y}(x,y) = x^2y +\phi\'(y)$ (4) Por贸wnujemy (2), (4) $ x^2y +1 =x^y +\phi\'(y),$ $\phi\'(y) =1,$ $ \phi(y) =y + C_{1}$ (5) Podstawiamy (5) do (3) $F(x,y) =\frac{1}{2}x^2 y^2 + x +y + C_{1}.$ W konsekwencji ca艂ka og贸lna r贸wnania ma posta膰 $ \frac{1}{2}x^2 y^2 + x +y +C_{1} = C_{2},$ lub $\frac{1}{2}x^2 y^2 + x + y = C, \ \ C= C_{2}-C_{1}.$ |
jacek00 post贸w: 11 | 2015-11-12 21:11:48 Nie da si臋 rozwi膮za膰 tego zadania np. poprzez uzmiennianie sta艂ej? Takich metod rozwi膮zywania r.r jak powy偶ej nie mia艂em na zaj臋ciach. |
jacek00 post贸w: 11 | 2015-11-12 21:33:32 Ju偶 rozumiem dzi臋ki Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-11-12 22:13:20 przez jacek00 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj