logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3775

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

hipolit
postów: 1
2015-11-07 18:24:50

Obliczyć granice ciągów:
a) $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}$

b) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+2n^{2}}-\sqrt{1+4n^{2}}}{n}$
c) $\lim_{x \to \infty} \frac{3^{n}-2^{n}}{4^{n}-3^{n}}$
d) $\lim_{x \to \infty} (7^{n}-6^{n}-5^{n})$


kebab
postów: 106
2015-11-07 18:56:51

a)
$\lim_{n \to \infty}\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{\left(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}\right)\left(\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}\right)}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}=\lim_{n \to \infty}\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}=$

$\lim_{n \to \infty}\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n} \left(\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}+\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{n}}} \right)}=\lim_{n \to \infty}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}+\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}}=\frac{2}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}=1$


kebab
postów: 106
2015-11-07 19:13:14

d)
$\lim_{n \to +\infty}(7^n-6^n-5^n)=\lim_{n \to +\infty}7^n \cdot \left(1-\left(\frac{6}{7}\right)^n-\left(\frac{5}{7}\right)^n \right)=(+\infty) \cdot (1-0-0)=+\infty$


kebab
postów: 106
2015-11-08 14:22:13

b)
$\lim_{n \to +\infty}\frac{\sqrt{1+2n^2}-\sqrt{1+4n^2}}{n}=\lim_{n \to +\infty}\frac{n \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{n^2}+2}-\sqrt{\frac{1}{n^2}+4}\right)}{n}=$

$\lim_{n \to +\infty}\left(\sqrt{\frac{1}{n^2}+2}-\sqrt{\frac{1}{n^2}+4}\right)=\sqrt{0+2}-\sqrt{0+4}=\sqrt{2}-2$



kebab
postów: 106
2015-11-08 14:31:14

c)
$\lim_{n \to +\infty}\frac{3^n-2^n}{4^n-3^n}=\lim_{n \to +\infty}\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^n-\left(\frac{2}{4}\right)^n}{\left(\frac{4}{4}\right)^n-\left(\frac{3}{4}\right)^n}=\frac{0-0}{1-0}=0$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 42 drukuj