logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3777

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

chomik7967
postów: 21
2015-11-08 02:54:43

Oblicz granicę ciągu
A)
$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^3+1}}{\sqrt[3]{n^5+1}+1}$

B)
$\lim_{n \to \infty}(\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}-\sqrt{n})$


Wiadomość była modyfikowana 2015-11-08 03:07:05 przez chomik7967

tumor
postów: 8085
2015-11-09 08:37:20

A)
wyłączyć przed pierwiastek w taki sposób
$\sqrt{n^3+1}=\sqrt{(n^3)(1+\frac{1}{n^3})}=n^\frac{3}{2}\sqrt{1+\frac{1}{n^3}}$
$\sqrt[3]{n^5+1}+1=\sqrt[3]{(n^5)(1+\frac{1}{n^5})}+1=n^\frac{5}{3}(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^5}}+\frac{1}{n^\frac{5}{3}})$

B) pomnożyć przez $\frac
{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}$ i zastosować wzór $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
a potem wyłączyć n z pierwiastków analogicznie do A)


chomik7967
postów: 21
2015-11-09 23:11:48

Przykład A jest dla mnie już jasny ale w B jak wyłącze n z pierwiastków jak napisałeś to mi jakieś różne dziwne rzeczy wychodzą. W przypadku B granica powinna wyjść 3. Możesz to rozpisać :) Proszę


tumor
postów: 8085
2015-11-09 23:43:54

Unikam pisania $lim$, bo jestem szatańsko leniwy, ale wszędzie trzeba pisać

B) po pomnożeniu
$\frac{6\sqrt{n}+1}{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}=
\frac{\sqrt{n}(6+\frac{1}{\sqrt{n}})}{\sqrt{n(1+\frac{6}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n})}+\sqrt{n}}=
\frac{\sqrt{n}(6+\frac{1}{\sqrt{n}})}{\sqrt{n}(\sqrt{1+\frac{6}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}}+1)}=
\frac{(6+\frac{1}{\sqrt{n}})}{\sqrt{1+\frac{6}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}}+1}=

$

wszystkie ułamki powyżej, które mają w mianowniku $n$ lub $\sqrt{n}$ dążą do 0, zostanie
$\frac{6}{\sqrt{1}+1}$, a ta liczba dostatecznie przypomina 3, by uznać wynik za poprawny.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 14 drukuj