Analiza matematyczna, zadanie nr 3780

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
brightnesss postów: 113	2015-11-08 20:05:48 Udowodnić ze nastepujacy ciag jest zbiezny $a_{n}$=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+...+$\frac{1}{n}$- ln n

tumor postów: 8070	2015-11-09 09:57:18 $ ln(n)=\int_1^n \frac{1}{x}dx$ $\frac{1}{x}$ jest funkcją malejącą dla x dodatnich Stąd $\frac{1}{n+1}<\int_n^{n+1}\frac{1}{x}dx<\frac{1}{n}$ oraz $\int_n^{n+1}\frac{1}{x}dx=ln(n+1)-ln(n)$ $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-ln(n+1)+ln(n)$ czyli $\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}<a_{n+1}-a_n<\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+1}$ wobec czego $\|a_{n+1}-a{n}\|<\frac{1}{n^2}$ W praktyce powyższe jest zapisem rysunku, który obrazuje różnicę między polem pod $f(x)=\frac{1}{x}$ a sumą szeregu $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...$ Różnicę tę można ograniczyć z góry przez sumę prostokątów o polach $\frac{1}{n^2}$ szereg $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...$ jest zbieżny, wobec czego rosnący szereg o mniejszych wyrazach jest monotoniczny i ograniczony, a zatem zbieżny.

brightnesss postów: 113	2015-11-09 17:11:52 Dziękuję, ale czy ta pierwsza czesc mozna zrobic jakos bez calek? Jest jakis sposob? :)

tumor postów: 8070	2015-11-09 18:55:35 To opisałem w drugiej części. Jeśli sobie narysujesz $f(x)=\frac{1}{x}$ oraz -prostokąt wyznaczony przez $x=0,x=1, y=0,y=1$ -prostokąt wyznaczony przez $x=1,x=2, y=0,y=\frac{1}{2}$ -prostokąt wyznaczony przez $x=2,x=3, y=0,y=\frac{1}{3}$ -prostokąt wyznaczony przez $x=3,x=4, y=0,y=\frac{1}{4}$ -prostokąt wyznaczony przez $x=4,x=5, y=0,y=\frac{1}{5}$ -prostokąt wyznaczony przez $x=5,x=6, y=0,y=\frac{1}{6}$ -prostokąt wyznaczony przez $x=6,x=7, y=0,y=\frac{1}{7}$ ... to można szacować różnicę między polem pod wykresem funkcji, a potem sumy prostokątów. Pola te różnią się o coraz mniejsze "skrawki", które są w ogóle mniejsze od pewnych trójkątów, ale wystarczy je szacować prostokątami. Na przykład pole pod wykresem między x=3 a x=4 jest większe niż prostokąt $1\frac{1}{4}$, ale mniejsze niż $1\frac{1}{3}$ czyli pole pod wykresem w tym przedziale różni się od prostokątów o mniej niż $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$ co można ograniczyć przez $\frac{1}{9}$ (pewien kwadrat). Stąd ograniczenie przez szereg $\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...$ Nie wiedziałem na ile ścisłe ma być rozwiązanie, na ile intuicyjne, dlatego podałem zapis formalny oraz interpretację geometryczną.

brightnesss postów: 113	2015-11-09 19:24:43 Teraz rozumiem, wielkie dzieki :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj