logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3780

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2015-11-08 20:05:48

Udowodnić ze nastepujacy ciag jest zbiezny

$a_{n}$=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+...+$\frac{1}{n}$- ln n


tumor
postów: 8085
2015-11-09 09:57:18

$ ln(n)=\int_1^n \frac{1}{x}dx$

$\frac{1}{x}$ jest funkcją malejącą dla x dodatnich

Stąd $\frac{1}{n+1}<\int_n^{n+1}\frac{1}{x}dx<\frac{1}{n}$
oraz $\int_n^{n+1}\frac{1}{x}dx=ln(n+1)-ln(n)$
$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-ln(n+1)+ln(n)$
czyli
$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}<a_{n+1}-a_n<\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+1}$
wobec czego
$|a_{n+1}-a{n}|<\frac{1}{n^2}$

W praktyce powyższe jest zapisem rysunku, który obrazuje różnicę między polem pod $f(x)=\frac{1}{x}$ a sumą szeregu $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...$
Różnicę tę można ograniczyć z góry przez sumę prostokątów o polach $\frac{1}{n^2}$
szereg $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...$ jest zbieżny, wobec czego rosnący szereg o mniejszych wyrazach jest monotoniczny i ograniczony, a zatem zbieżny.


brightnesss
postów: 113
2015-11-09 17:11:52

Dziękuję, ale czy ta pierwsza czesc mozna zrobic jakos bez calek? Jest jakis sposob? :)


tumor
postów: 8085
2015-11-09 18:55:35

To opisałem w drugiej części.
Jeśli sobie narysujesz $f(x)=\frac{1}{x}$
oraz
-prostokąt wyznaczony przez $x=0,x=1, y=0,y=1$
-prostokąt wyznaczony przez $x=1,x=2, y=0,y=\frac{1}{2}$
-prostokąt wyznaczony przez $x=2,x=3, y=0,y=\frac{1}{3}$
-prostokąt wyznaczony przez $x=3,x=4, y=0,y=\frac{1}{4}$
-prostokąt wyznaczony przez $x=4,x=5, y=0,y=\frac{1}{5}$
-prostokąt wyznaczony przez $x=5,x=6, y=0,y=\frac{1}{6}$
-prostokąt wyznaczony przez $x=6,x=7, y=0,y=\frac{1}{7}$
...

to można szacować różnicę między polem pod wykresem funkcji, a potem sumy prostokątów.
Pola te różnią się o coraz mniejsze "skrawki", które są w ogóle mniejsze od pewnych trójkątów, ale wystarczy je szacować prostokątami.

Na przykład pole pod wykresem między x=3 a x=4 jest większe niż prostokąt $1*\frac{1}{4}$, ale mniejsze niż $1*\frac{1}{3}$
czyli pole pod wykresem w tym przedziale różni się od prostokątów o mniej niż $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$
co można ograniczyć przez $\frac{1}{9}$ (pewien kwadrat).

Stąd ograniczenie przez szereg $\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...$

Nie wiedziałem na ile ścisłe ma być rozwiązanie, na ile intuicyjne, dlatego podałem zapis formalny oraz interpretację geometryczną.


brightnesss
postów: 113
2015-11-09 19:24:43

Teraz rozumiem, wielkie dzieki :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 39 drukuj