Analiza matematyczna, zadanie nr 3780
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
brightnesss post贸w: 113 |  2015-11-08 20:05:48Udowodni膰 ze nastepujacy ciag jest zbiezny $a_{n}$=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+...+$\frac{1}{n}$- ln n |
tumor post贸w: 8070 | 2015-11-09 09:57:18 $ ln(n)=\int_1^n \frac{1}{x}dx$ $\frac{1}{x}$ jest funkcj膮 malej膮c膮 dla x dodatnich St膮d $\frac{1}{n+1}<\int_n^{n+1}\frac{1}{x}dx<\frac{1}{n}$ oraz $\int_n^{n+1}\frac{1}{x}dx=ln(n+1)-ln(n)$ $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-ln(n+1)+ln(n)$ czyli $\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}<a_{n+1}-a_n<\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+1}$ wobec czego $|a_{n+1}-a{n}|<\frac{1}{n^2}$ W praktyce powy偶sze jest zapisem rysunku, kt贸ry obrazuje r贸偶nic臋 mi臋dzy polem pod $f(x)=\frac{1}{x}$ a sum膮 szeregu $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...$ R贸偶nic臋 t臋 mo偶na ograniczy膰 z g贸ry przez sum臋 prostok膮t贸w o polach $\frac{1}{n^2}$ szereg $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...$ jest zbie偶ny, wobec czego rosn膮cy szereg o mniejszych wyrazach jest monotoniczny i ograniczony, a zatem zbie偶ny. |
brightnesss post贸w: 113 | 2015-11-09 17:11:52 Dzi臋kuj臋, ale czy ta pierwsza czesc mozna zrobic jakos bez calek? Jest jakis sposob? :) |
tumor post贸w: 8070 | 2015-11-09 18:55:35 To opisa艂em w drugiej cz臋艣ci. Je艣li sobie narysujesz $f(x)=\frac{1}{x}$ oraz -prostok膮t wyznaczony przez $x=0,x=1, y=0,y=1$ -prostok膮t wyznaczony przez $x=1,x=2, y=0,y=\frac{1}{2}$ -prostok膮t wyznaczony przez $x=2,x=3, y=0,y=\frac{1}{3}$ -prostok膮t wyznaczony przez $x=3,x=4, y=0,y=\frac{1}{4}$ -prostok膮t wyznaczony przez $x=4,x=5, y=0,y=\frac{1}{5}$ -prostok膮t wyznaczony przez $x=5,x=6, y=0,y=\frac{1}{6}$ -prostok膮t wyznaczony przez $x=6,x=7, y=0,y=\frac{1}{7}$ ... to mo偶na szacowa膰 r贸偶nic臋 mi臋dzy polem pod wykresem funkcji, a potem sumy prostok膮t贸w. Pola te r贸偶ni膮 si臋 o coraz mniejsze \"skrawki\", kt贸re s膮 w og贸le mniejsze od pewnych tr贸jk膮t贸w, ale wystarczy je szacowa膰 prostok膮tami. Na przyk艂ad pole pod wykresem mi臋dzy x=3 a x=4 jest wi臋ksze ni偶 prostok膮t $1*\frac{1}{4}$, ale mniejsze ni偶 $1*\frac{1}{3}$ czyli pole pod wykresem w tym przedziale r贸偶ni si臋 od prostok膮t贸w o mniej ni偶 $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$ co mo偶na ograniczy膰 przez $\frac{1}{9}$ (pewien kwadrat). St膮d ograniczenie przez szereg $\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...$ Nie wiedzia艂em na ile 艣cis艂e ma by膰 rozwi膮zanie, na ile intuicyjne, dlatego poda艂em zapis formalny oraz interpretacj臋 geometryczn膮. |
brightnesss post贸w: 113 | 2015-11-09 19:24:43 Teraz rozumiem, wielkie dzieki :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj