logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3781

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

smyda92
postów: 23
2015-11-09 11:32:09

Proszę o pomoc w takim dowodzie:
Niech $\mathcal {X}= \mathcal{R}, \mathcal{A} \subset 2^{\mathcal{X}}, \mathcal{A}:= \left\{ A \cap B \subset \mathcal{R}: A-domknięty, B- otwarty,A, B\subset \mathcal{R} \right\}$. Czy rodzina $\mathcal{A}$ jest:
a) ciałem,
b) $\sigma-$ciałem podzbiorów zboru $\mathcal{R}$?


Wiadomość była modyfikowana 2015-11-09 22:19:15 przez smyda92

tumor
postów: 8070
2015-11-09 14:36:14

Dwa pytania. Pierwsze: jak się do tego zabierasz i w którym momencie stajesz.
Drugie: czy powyższe to jedno zadanie, dwa zadania, jedno i pół, czy może nie masz pojęcia ile to zadań?


smyda92
postów: 23
2015-11-09 22:20:48

w a) jest to ciało a w b)nie jest $\sigma$-ciałem
w tym zadaniu wydaje mi się,że trzeba korzystać z sum przeliczalnych zbiorów otwartych i domkietych. Bardzo proszę o matematyczne zapisanie, bo z tym mam największy problem. tzn chodzi mi głownie o warunki addytywności, sigma addytywności i komplementarności.


tumor
postów: 8070
2015-11-09 23:50:21

Czyli o wszystkie warunki poza należeniem zbioru pustego :D

Ja znam odpowiedzi na pytanie i nie musisz mi ich spisywać z książki czy nie wiadomo skąd.

Mamy topologię na X. Czy suma przeliczalnie wielu zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym? A suma przeliczalnie wielu zbiorów domkniętych?

Czy jeśli $A_i$ są otwarte, a $B_i$ są domknięte, $i\in N$, to
$\bigcup_{i\in N}(A_i\cap B_i)$ na pewno da się rozpisać jako przekrój zbioru otwartego i domkniętego, czy niekoniecznie da się zapisać jako taki przekrój?

(Skoro masz kłopot tylko z zapisem, to sobie wyobraź o czym mówimy i odpowiedz mi zgodnie z intuicją, choć lepiej, żeby była wsparta wiedzą z wykładu)


smyda92
postów: 23
2015-11-11 17:24:22

$0^\circ$ $\emptyset$- z definicji jest zawsze otwarty i domknięty, więc:
$A:=\{\emptyset\cap\emptyset=\emptyset \in A\}$
$1^\circ$ Addytywność
Jeśli mamy dwa zbiory otwarte (domknięte) to ich suma będzie otwarta (domknięta).
$A_{1},A_{2} \in \mathcal{A} \xrightarrow{?} A_{1}\cup A_{2} \in \mathcal{A} $
$A_{1},A_{2} \in \mathcal{A}\Leftrightarrow A\cap A_{1} \in \mathcal{A}, A\cap A_{2} \in \mathcal{A}$
Niech $A \in \mathcal{A}$
$A\cap(A_{1}\cup A_{2})=A\cap A_{1} \cup A\cap A_{2} \in A$.
Jest addytywna.
$2^\circ$ Komplementarna
$A \in \mathcal{A}\Rightarrow A\prime \in \mathcal{A}$
$A\cap B \in \mathcal{A}$
$A\prime \cap B= B \backslash (A\cap B) \in \mathcal{A}$
Czyli $\mathcal{A}$ jest ciałem.
Żeby $\mathcal{A}$ była $\sigma-$ciałem musi być $\sigma-$ addytywna, a wydaje mi się, że jeśli $A_{i}-$otwarte, $B_{i}-$ domknięte, $i \in N$ to:
$\bigcup\limits_{i \in N} (A_{i}\cap B_{i})$ nie da się zapisać jako przekrój zbioru otwartego i domkniętego.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 48 drukuj