logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3784

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

broxlin
postów: 2
2015-11-09 22:28:12

1. Zbadaj monotoniczność ciągu $b_{n}=\frac{n+1}{n^{2}+1}$.
2. Oblicz
a)$\lim_{n \to inf} \frac{n^{2}+n^{3}}{1+n^{2}}$

b)$\lim_{n \to inf} (\frac{1+n}{1-n})^{n}$

c)$\lim_{n \to inf} (sqrt{n+4}-sqrt{n})$

3. Sprawdź zbieżność szeregów.
a)$\sum_{inf}^{n=1} \frac{(-1)^{n}}{n^{3}+2}$

b)$\sum_{inf}^{n=1} \frac{n!}{n^{n}}$

c)$\sum_{inf}^{n=1} \frac{n^{5}}{3^{n}}$


tumor
postów: 8085
2015-11-09 23:22:02

1.
Policz $b_{n+1}-b_n$ (sprowadź do wspólnego mianownika, zredukuj wyrazy podobne) i powiedz, jaki znak zależnie od n ma ta różnica.

2.
a)
Wyłącz przed nawias $n^2$ i w liczniku i mianowniku.

b)
Wyłącz minus przed nawias, bo wygodniej będzie mieć n-1 w mianowniku. Następnie
$\frac{n+1}{n-1}=1+\frac{2}{n-1}$
i upodabniamy przykład do
$(1+\frac{1}{n})^n$

c)
Zgadywać przykładu nie będę


tumor
postów: 8085
2015-11-09 23:26:05

3.
a) zbieżny z kryterium porównawczego
$|a_n|<\frac{1}{n^2}$

b) zbieżny z kryterium d'Alemberta

c) zbieżny z k. Cauchy'ego

To najprościej.


broxlin
postów: 2
2015-11-10 09:37:38

Dziękuję :). Prosiłbym jeszcze o rozwiązanie następujących zadań:
1. Oblicz $\lim_{n \to inf}\sqrt{n+4}-\sqrt{n}$.

2. Wyznacz trzy początkowe wyrazy ciągu $a_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$.

3. Wyznacz asymptoty wykresu funkcji i naszkicuj wykres.

a)$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x}$

b)$f(x)=\frac{x^{2}}{x-1}$




tumor
postów: 8085
2015-11-10 09:58:08

Następnym razem jednak zaproponuj jakieś własne metody, rozwiązania, pomysły.

1. Takie pierwiastki i podobne liczymy często w ten sam sposób. Masz tu jeszcze przykład
http://www.forum.math.edu.pl/temat,studia,3777,0
(A w ogóle na forum jest pewnie kilkadziesiąt podobnych granic)

$(\sqrt{n+4}-\sqrt{n})*\frac{\sqrt{n+4}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n}}$

Liczbę przed ułamkiem mnożymy przez licznik, stosujemy wzór skróconego mnożenia, w mianowniku z pierwiastków wyłączamy taką potęgę n, by wyrażenie pod pierwiastkiem miało granicę rzeczywistą dodatnią.

2. To jest zadanie z gimnazjum?
$\frac{1}{1}$
$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}$
$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$

3. Asymptota pionowa może się trafić, gdy się zeruje mianownik. Jest pewna, gdy w tym samym momencie licznik zbliża się do niezerowej liczby rzeczywistej.
Czyli asymptoty pionowe
a) x=0
b) x=1
Formalnie dowodzimy tego licząc granice
$\lim_{x \to x_0\pm}f(x)$
czyli oddzielnie lewostronną, oddzielnie prawostronną granicę z f(x) w każdym punkcie $x_0$, w którym zeruje się mianownik. Gdy którakolwiek z dwóch granic jednostronnych wychodzi nieskończona, to jest asymptota pionowa.

Asymptoty ukośne wymagają liczenia oddzielnie w +nieskończoności i oddzielnie w -nieskończoności po 2 granice, choć czasem już przy pierwszej widać, że asymptoty ukośnej nie będzie.

$\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=a$
$\lim_{x \to +\infty}(f(x)-ax)=b$
Jeśli obie granice istnieją i są rzeczywiste, to $ax+b$ jest asymptotą ukośną (w tym przypadku w +nieskończoności). Analogicznie liczymy -nieskończoność.

a)
a=1
b=0
(zarówno w + jak -nieskończoności)
b)
a=1
b=1
(zarówno w + jak -nieskończoności)


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 104 drukuj