Analiza matematyczna, zadanie nr 3784

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
broxlin postów: 2	2015-11-09 22:28:12 1. Zbadaj monotoniczność ciągu $b_{n}=\frac{n+1}{n^{2}+1}$. 2. Oblicz a)$\lim_{n \to inf} \frac{n^{2}+n^{3}}{1+n^{2}}$ b)$\lim_{n \to inf} (\frac{1+n}{1-n})^{n}$ c)$\lim_{n \to inf} (sqrt{n+4}-sqrt{n})$ 3. Sprawdź zbieżność szeregów. a)$\sum_{inf}^{n=1} \frac{(-1)^{n}}{n^{3}+2}$ b)$\sum_{inf}^{n=1} \frac{n!}{n^{n}}$ c)$\sum_{inf}^{n=1} \frac{n^{5}}{3^{n}}$

tumor postów: 8070	2015-11-09 23:22:02 1. Policz $b_{n+1}-b_n$ (sprowadź do wspólnego mianownika, zredukuj wyrazy podobne) i powiedz, jaki znak zależnie od n ma ta różnica. 2. a) Wyłącz przed nawias $n^2$ i w liczniku i mianowniku. b) Wyłącz minus przed nawias, bo wygodniej będzie mieć n-1 w mianowniku. Następnie $\frac{n+1}{n-1}=1+\frac{2}{n-1}$ i upodabniamy przykład do $(1+\frac{1}{n})^n$ c) Zgadywać przykładu nie będę

tumor postów: 8070	2015-11-09 23:26:05 3. a) zbieżny z kryterium porównawczego $\|a_n\|<\frac{1}{n^2}$ b) zbieżny z kryterium d'Alemberta c) zbieżny z k. Cauchy'ego To najprościej.

broxlin postów: 2	2015-11-10 09:37:38 Dziękuję :). Prosiłbym jeszcze o rozwiązanie następujących zadań: 1. Oblicz $\lim_{n \to inf}\sqrt{n+4}-\sqrt{n}$. 2. Wyznacz trzy początkowe wyrazy ciągu $a_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$. 3. Wyznacz asymptoty wykresu funkcji i naszkicuj wykres. a)$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x}$ b)$f(x)=\frac{x^{2}}{x-1}$

tumor postów: 8070	2015-11-10 09:58:08 Następnym razem jednak zaproponuj jakieś własne metody, rozwiązania, pomysły. 1. Takie pierwiastki i podobne liczymy często w ten sam sposób. Masz tu jeszcze przykład http://www.forum.math.edu.pl/temat,studia,3777,0 (A w ogóle na forum jest pewnie kilkadziesiąt podobnych granic) $(\sqrt{n+4}-\sqrt{n})*\frac{\sqrt{n+4}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n}}$ Liczbę przed ułamkiem mnożymy przez licznik, stosujemy wzór skróconego mnożenia, w mianowniku z pierwiastków wyłączamy taką potęgę n, by wyrażenie pod pierwiastkiem miało granicę rzeczywistą dodatnią. 2. To jest zadanie z gimnazjum? $\frac{1}{1}$ $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}$ $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ 3. Asymptota pionowa może się trafić, gdy się zeruje mianownik. Jest pewna, gdy w tym samym momencie licznik zbliża się do niezerowej liczby rzeczywistej. Czyli asymptoty pionowe a) x=0 b) x=1 Formalnie dowodzimy tego licząc granice $\lim_{x \to x_0\pm}f(x)$ czyli oddzielnie lewostronną, oddzielnie prawostronną granicę z f(x) w każdym punkcie $x_0$, w którym zeruje się mianownik. Gdy którakolwiek z dwóch granic jednostronnych wychodzi nieskończona, to jest asymptota pionowa. Asymptoty ukośne wymagają liczenia oddzielnie w +nieskończoności i oddzielnie w -nieskończoności po 2 granice, choć czasem już przy pierwszej widać, że asymptoty ukośnej nie będzie. $\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=a$ $\lim_{x \to +\infty}(f(x)-ax)=b$ Jeśli obie granice istnieją i są rzeczywiste, to $ax+b$ jest asymptotą ukośną (w tym przypadku w +nieskończoności). Analogicznie liczymy -nieskończoność. a) a=1 b=0 (zarówno w + jak -nieskończoności) b) a=1 b=1 (zarówno w + jak -nieskończoności)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj