logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3788

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kasiaiw
postów: 50
2015-11-10 14:11:56

Mam takie zadanie i proszę o pomoc w nim:
Niech: $X,Y \neq \emptyset,f:X\rightarrow Y$
1)Dla $\mathcal{N} \subset 2^Y$ definiujemy $\mathcal{M}:=\left\{f^{-1}(B)\subset X, B \in \mathcal{N} \right\}$
2)Dla $\mathcal{M} \subset 2^X$ definiujemy $\mathcal{N}:=\left\{(B)\subset Y,f^{-1}(B) \in \mathcal{M}
\right\}$

Załóżmy, że $\mathcal{N}$ jest:
a) pierścieniem,
b) $\sigma-$pierścieniem,
c) ciałem,
d) $\sigma-$ciałem w $\mathcal{Y}$.

Czy wtedy $\mathcal{M}$ dane wzorem 1) jest odpowienio a) pierścieniem, b),c),d) w $\mathcal{X}$.


tumor
postów: 8085
2015-11-10 15:09:25

a)
N jest pierścieniem. Daruję sobie pisanie tych stylizowanych liter, będę używał M,N.
M to zbiór przeciwobrazów elementów pierścienia.

Jeśli $A,B\in M$, to znaczy istnieją $C,D\in N$ takie, że
$A=f^{-1}(C)$
$B=f^{-1}(D)$

Wtedy $A\cup B=f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)=f^{-1}(C\cup D)$
a skoro N jest pierścieniem, to $A\cup B\in M$.

$A\backslash B=f^{-1}(C)\backslash f^{-1}(D)=f^{-1}(C\backslash D)$
a skoro N jest pierścieniem, to $A\backslash B\in M$.

b)
czym będzie się różnić rozumowanie dla $\sigma$-pierścienia?


tumor
postów: 8085
2015-11-10 15:27:31

c)
przeciwobraz zbioru pustego jest zbiorem pustym

Suma przeciwobrazów to to samo co przeciwobraz sumy. Użyłem tego faktu powyżej.
Najłatwiej to zrozumieć zauważając, że przeciwobrazy zbiorów rozłącznych są rozłączne, a dowolną sumę dwóch zbiorów można przedstawić jako sumę zbiorów rozłącznych
$C\cup D= (C\backslash D)\cup (D\backslash C)\cup (C\cap D)$

Pozostaje się zająć dopełnieniem.
$A`=X\backslash f^{-1}(C)=f^{-1}(C`)$, a skoro $N$ jest ciałem, to $A`\in M$


d)
czym się będzie różnić rozumowanie dla $\sigma$-ciała?


kasiaiw
postów: 50
2015-11-10 19:44:45

w b) i d) muszę wykazać tutaj $\sigma$addytywność czyli sumę przeliczalną. Bardzo proszę o pomoc jeśli chodzi o matematyczne rozpisanie tej przeliczalnej sumy.


tumor
postów: 8085
2015-11-10 20:34:14

A rozumiesz w ogóle o co chodzi z przeliczalną sumą? Wiesz, co to jest przeciwobraz? Czy mamy do czynienia z jakąś magią?


kasiaiw
postów: 50
2015-11-10 23:18:57

Znam definicje $\sigma-$addytywności oraz definicje obrazu, ale nie wiem jak to wykorzystać, bardzo proszę o pomoc


tumor
postów: 8085
2015-11-10 23:23:42

Znasz lodówkę i ser, ale nie wiesz jak sprawdzić, czy ser jest w lodówce? Otóż wystarczy spojrzeć. Wystarczy spojrzeć. Jeśli znasz definicję, to patrzysz, czy warunki są spełnione czy nie. Umiesz dojrzeć oczami, czy ktoś ma dwie ręce? Obrączkę na palcu? Czy pani ma makijaż? Czy identyczne skarpetki? To w tym zadaniu należy wykonać tę samą czynność - spojrzeć.

Załóżmy, że zbiory $C_n$ są podzbiorami Y.
Co możesz powiedzieć o zbiorach:
$f^{-1}(\bigcup C_n)$
$\bigcup f^{-1}(C_n)$
? Są identyczne? Jeden zawarty w drugim? Żaden z tych warunków? Różnie?


kasiaiw
postów: 50
2015-11-11 14:23:30

Przeciwobraz sumy jest sumą przeciwobrazów, więc zachodzi tutaj równość. Oznacza to, że warunek $\sigma-$addytywność zachodzi i jest to $\sigma-$pierścień. A co będzie z podpunktem d) czy mogę prosić o taką sama wskazówkę bardzo proszę. Bo jeśli Pan takie wskazówki daje to przynajmniej widzę co mam zrobić i mogę wykorzystać już wcześniej zdobytą wiedze. Jeszcze raz bardzo dziekuję za pomoc.


tumor
postów: 8085
2015-11-11 16:47:31

b) Skoro przeciwobraz sumy i suma przeciwobrazów to to samo (nie tylko dla dwóch zbiorów, ale dla dowolnej ilości), to
jeśli przyjmiemy $A_n=f^{-1}(C_n)$
to $\bigcup A_n=\bigcup f^{-1}(C_n)=f^{-1}(\bigcup C_n)$
Skoro N jest $\sigma$-pierścieniem, to $\bigcup C_n\in N$, a zatem
$f^{-1}(\bigcup C_n)$ należy do M.
Zatem $\bigcup A_n$ należy do M, a to uzupełnia wcześniejsze warunki, zatem M jest także $\sigma$-pierścieniem.

Przemyśl to rozumowanie.

w d) nie potrzeba nic więcej, rzeczy udowodnione w b) i c) są wystarczające.

Popatrz na dowód dla b)
Należało skorzystać z tego, że N jest $\sigma$-pierścieniem, a w $\sigma$-pierścieniu można dodawać przeliczalnie wiele elementów. Zatem można było zrobić $\bigcup C_n$. Dzięki temu dopiero dowiedzieliśmy się, że także $\bigcup A_n$ należy do M, jeśli $A_n$ należą do M.

Należy zatem po prostu użyć podanych warunków. Tu nie ma żadnej tajemnej metody. To jest zadanie na patrzenie, jak sprawdzanie sera w lodówce. Naucz się definicji, nie tylko na pamięć, ale ich znaczenia. Symbole oznaczają słowa języka polskiego i naprawdę nie jest trudno to zrozumieć, gdy się chce i poświęci nieco czasu.
A gdy rozumiesz definicję, to od razu widzisz rozwiązania. Gdy rozumiesz już, czego szukasz w lodówce albo gdzie szukasz sera, to masz po problemie. Gdy tylko udajesz, że wiesz, co to ser, to nie znajdziesz go w lodówce, bo nie wiesz czego szukasz. Naprawdę.

By udowodnić w a), że suma $A\cup B$ należy do M, trzeba było skorzystać z faktu, że suma $C\cup D$ należy do N, a należy, bo N jest pierścieniem.

By udowodnić w c), że dopełnienie A` należy do M, trzeba było skorzystać z faktu, że dopełnienie C` należy do N, a należy, bo N jest ciałem.

W każdym podpunkcie wiemy pewne rzeczy o zbiorze N (nie zawsze te same) i możemy ich używać do sprawdzenia, czy te same warunki zachodzą także dla M.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 5 drukuj