logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Topologia, zadanie nr 3791

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

magda2219
postów: 19
2015-11-10 15:24:18

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną. Rozważmy nowe odwzorowanie d1 : X ×X → R dane wzorem d1(x,y) = min{1,d(x,y)}. Czy d1 jest metryką? Uzasadnić.


tumor
postów: 8085
2015-11-13 18:43:13

Wystarczy sprawdzić dość oczywiste warunki metryki.

$d_1(x,y)=0 \iff d(x,y)=0 \iff x=y$

$d_1(x,y)=d_1(y,x)$ bo $d(x,y)=d(y,x)$ oraz 1=1

W warunku trzecim można dla wygody rozpatrywać przypadki. Na pewno mamy
$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$
a) jeśli co najmniej jedna z wielkości $d(x,z),d(z,y)$ jest równa lub większa 1, to oczywiście jest
$d_1(x,y)\le 1\le min\{1,d(x,z)\}+min\{1,d(z,y)\}$
b) jeśli obie wielkości $d(x,z),d(z,y)$ są mniejsze niż 1, a ich suma równa lub większa 1, to
$min\{1,d(x,z)\}\le min\{1,d(x,z)\}+min\{1,d(z,y)\}$
c) jeśli suma $d(x,z)+d(z,y)$ jest mniejsza od 1, to
$d_1(x,y)=d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)=d_1(x,z)+d_1(z,y)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 71 drukuj