Topologia, zadanie nr 3791

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
magda2219 postów: 19	2015-11-10 15:24:18 Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną. Rozważmy nowe odwzorowanie d1 : X ×X → R dane wzorem d1(x,y) = min{1,d(x,y)}. Czy d1 jest metryką? Uzasadnić.

tumor postów: 8070	2015-11-13 18:43:13 Wystarczy sprawdzić dość oczywiste warunki metryki. $d_1(x,y)=0 \iff d(x,y)=0 \iff x=y$ $d_1(x,y)=d_1(y,x)$ bo $d(x,y)=d(y,x)$ oraz 1=1 W warunku trzecim można dla wygody rozpatrywać przypadki. Na pewno mamy $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ a) jeśli co najmniej jedna z wielkości $d(x,z),d(z,y)$ jest równa lub większa 1, to oczywiście jest $d_1(x,y)\le 1\le min\{1,d(x,z)\}+min\{1,d(z,y)\}$ b) jeśli obie wielkości $d(x,z),d(z,y)$ są mniejsze niż 1, a ich suma równa lub większa 1, to $min\{1,d(x,z)\}\le min\{1,d(x,z)\}+min\{1,d(z,y)\}$ c) jeśli suma $d(x,z)+d(z,y)$ jest mniejsza od 1, to $d_1(x,y)=d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)=d_1(x,z)+d_1(z,y)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj