logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Topologia, zadanie nr 3792

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

magda2219
postów: 19
2015-11-10 15:26:05

Opisać wzorem metrykę ”koleje we Francji” i udowodnić, że zb. R^2 wraz z tym działaniem jest przestrzenią metryczną. Opis słowny: d((x1,x2),(y1,y2)) jest równa sumie odległości punktów od (0,0) jeśli punkty te nie leżą na tej samej prostej przechodzącej przez punkt (0,0); lub równa się zwykłej odległości punktów gdy leżą one na tej samej prostej przechodzącej przez (0,0).


tumor
postów: 8085
2015-11-13 18:52:42

$x=(x_1,x_2)$
$y=(y_1,y_2)$
$z=(z_1,z_2)$

1) $d(x,y)=0 \iff x=y$
(można rozważyć w głowie oba przypadki, jeśli nie leżą na jednej prostej to oczywiście odległość nie jest 0, a jeśli leżą na jednej prostej, to liczymy ich odległość euklidesową, a to jest metryka)

2) $d(x,y)=d(y,x)$ (sumujemy odległości euklidesowe, czyli korzystamy z metryki euklidesowej, a ona jest symetryczna)

3)
Dla wygody można sobie rozpatrywać przypadki
jeśli x,y,z leżą na prostej przechodzącej przez (0,0), to warunek trójkąta zachodzi, bo odległość euklidesowa to metryka

Jeśli x,y leżą na jednej prostej przechodzącej przez (0,0) a z na niej nie leży, to
$d(x,y)\le d(x,(0,0))+d(y,(0,0))\le d(x,(0,0))+d(y,(0,0))+2d(z,(0,0))=d(x,z)+d(z,y)$

Jeśli x,y nie leżą na prostej przechodzącej przez (0,0), a z leży między punktem (0,0) a jednym z x,y, to.....

etc. Rozważenie różnych sytuacji geometrycznych pozwala łatwo sprawdzić, że w każdej z nich zachodzi warunek trójkąta.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 102 drukuj