logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3795

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

iwonkaczapie9
postów: 40
2015-11-10 19:39:39

Mam takie zadanie: wykaż, że:
a)jeżeli X jest dowolnym, niepustym zbiorem, to $\mathcal{A}=\left\{\emptyset\right\},$ jest pierścieniem oraz $\sigma-$pierścieniem,
b) jeżeli X jest dowolnym, niepustym zbiorem, to $\mathcal{A}=\left\{\emptyset, X\right\},$ jest pierścieniem,$\sigma-$pierścieniem,ciałem oraz $\sigma-$ciałem,
c)jeżeli X jest dowolnym, niepustym zbiorem i $\emptyset\neq\mathcal{A}\varsubsetneq X$, to $\mathcal{A}= \left\{\emptyset, X \right\},$ jest pierścieniem oraz $\sigma-$pierścieniem,ciałem oraz $\sigma-$ciałem,
d)jeżeli X jest dowolnym, niepustym zbiorem i $\emptyset\neq\mathcal{A}\varsubsetneq X$, to $\mathcal{A}= \left\{\emptyset,A, A^',X \right\},$ jest pierścieniem, $\sigma-$pierścieniem,ciałem oraz $\sigma-$ciałem.
Bardzo proszę o pomoc.

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-10 19:40:03 przez iwonkaczapie9

tumor
postów: 8085
2015-11-10 20:35:29

No i świetnie.
Jakie warunki sprawdzasz w a)? Jak to robisz? Przeczytałaś je wcześniej ze zrozumieniem?


iwonkaczapie9
postów: 40
2015-11-10 23:13:45

w a) sprawdzam addytywność, $\sigma-$ addytywność, niepustość zbioru jest zapewniona, bo do rodziny A należy element, czyli zbiór pusty. Sprawdzam też dyferentywność. Wogole mogę w a) skorzystać z twierdzenia, że każdy pierścień i $\sigma-$ pierścień zawiera zbiór pusty
a w b) mogę skorzystać z tego tw. co wcześniej i z tego, że każde ciało oraz sigma ciało zawiera zbiór X.



tumor
postów: 8085
2015-11-10 23:16:45

Dobrze wymieniasz nazwy warunków. To teraz pokaż $\sigma$-addytywność w podpunktach a) i b), to już będziemy w połowie drogi, z $\sigma$-addytywności oczywiście wynika od razu addytywność.


iwonkaczapie9
postów: 40
2015-11-11 00:47:43

Bardzo chciała bym się nauczyć to rozpisywać czy mogę prosić o rozpisanie przykładu a) ja wtedy rozpisze przykłady od a do d wg podanego przez Pana wzoru. Potrafię wykorzystać definicje, jednak najwięcej trudu sprawia mi samo rozpisanie tego.


tumor
postów: 8085
2015-11-11 08:47:07

Widzisz, na forum jest kilka kont, które się uruchamiają dokładnie w tym samym czasie i piszą bardzo podobne zadania. Może korzystaj z przykładów w tych zadaniach?

$A=\{\emptyset\}$ oznacza tylko, że rodzina A składa się z JEDNEGO zbioru, który do tego jest zbiorem pustym.

Addytywność sprawdzamy, biorąc DOWOLNE DWA elementy rodziny A i dodając je. Ale tu OBA elementy muszą być tym samym zbiorem pustym, bo w A nie ma niczego więcej!
Jeśli dodamy do siebie dwa zbiory puste, to mamy
$\emptyset \cup \emptyset = \emptyset$, co naprawdę nie jest trudne.
I co, wynik należy do A? Należy.

Addytywność mówi właśnie tyle, że jeśli mamy dwa zbiory z A, to wynik sumy ZAWSZE też należy do A. No i działa, bo są tu tylko zbiory puste, które do A należą.

Przeliczalna addytywność się tu szczególnie nie różni. Teraz mamy przeliczalnie wiele zbiorów z A. No ale i tak WSZYSTKIE ONE są zbiorami pustymi, bo w A nie ma żadnych innych elementów niż zbiór pusty.
Jeśli dodasz dowolnie wiele zbiorów pustych, to wynikiem wciąż będzie zbiór pusty, a on należy do A. Czyli ta rodzina jest przeliczalnie addytywna. Bo wynik sumy przeliczalnie wielu elementów z A na pewno należy do A.

Rodzina A jest także dyferentywna, czyli zamknięta na różnice. Bo jeśli weźmiesz dwa zbiory z A, to oba będą zbiorami pustymi. Różnica zbiorów pustych także jest zbiorem pustym. Czyli różnica należy do A.

Pisząc to samo symbolicznie (tylko nie znasz symboli), dostaniemy
$\forall_{B,C\in A}B=C=\emptyset$ wobec czego $\forall_{B,C\in A}B\cup C=\emptyset\cup \emptyset \in A$
a także
$\forall_{B,C\in A}B\backslash C=\emptyset\backslash \emptyset \in A$.
Ponadto mamy
$\forall_{B_n\in A}B_n=\emptyset$
zatem
$\forall_{B_n\in A}\bigcup_{n\in N}B_n=\bigcup_{n\in N}\emptyset=\emptyset\in A$
Tylko CAŁA TA SYMBOLIKA nie mówi nic innego niż wcześniejszy zapis słowny. To to samo. Staraj się zrozumieć słowa, a potem symbole (bo symbole oznaczają słowa).

Rozumiesz?


iwonkaczapie9
postów: 40
2015-11-11 17:45:38

Podpunkt b)
Tak już rozumiem, jednak $\sigma$ addytywność wciąż sprawia mi problem jak jest więcej elementów zbioru.
$A=\{\emptyset, X\}$
Pierścień?
$0^\circ$ Niepustość zapewniona, bo $\emptyset\in \mathcal{A}$
$A,B \in \mathcal{A} \Rightarrow A\cup B \in \mathcal{A} $
$A\cup B=\emptyset + X= X \in \mathcal{A}$
$2^\circ$ Dyferentywność
$A,B \in \mathcal{A} \Rightarrow A\backslash B \in \mathcal{A}$
$A\backslash B=X \backslash \emptyset= X \in \mathcal{A}$
$\mathcal{A}=\{\emptyset, X\}$ - pierścień
Czy jest $\sigma-$ pierścień?
$3^\circ \sigma$ addytywność + warunki (dyferentywność, niepustość- zapewnione)
$A_{n} \in \mathcal{A}, n \in N \Rightarrow\bigcup\limits_{n=1} A_{n} \in \mathcal{A}$
$\bigcup\limits_{n=1} A_{n}=\emptyset\cup X\cup ... \in \mathcal{A}$
$\mathcal{A}=\{\emptyset, X\}$ - $\sigma-$pierścień
Czy jest ciałem?
Mamy wykazać komplementarność.
$A \in \mathcal{A}\Rightarrow A\prime \in \mathcal{A}$
$ X \in \mathcal{A} \Rightarrow X\backslash X=\emptyset \in \mathcal{A}$
$\mathcal{A}=\{\emptyset, X\}$ - ciało oraz $\sigma-$ ciało


iwonkaczapie9
postów: 40
2015-11-11 17:59:48

Podpunkt d)
$\mathcal{A}=\{\emptyset, A, A\prime, X\}$
$0^\circ$ Niepustość zapewniona, bo $\emptyset\in \mathcal{A}$
$1^\circ$ Addytywność
$A,B \in \mathcal{A} \Rightarrow A\cup B \in \mathcal{A}$
$A\cup B=\emptyset + \mathcal{A}= A \in \mathcal{A}$
$A\cap B= A\prime + \mathcal{A}= X \in \mathcal{A}$

Tutaj nie wiem czy mam sprawdzać wszystkie możliwe kombinacje elementów zbioru $A$?
Dyferentywność:
$A,B \in \mathcal{A} \Rightarrow A \backslash B \in \mathcal{A}$
$A \backslash B=X \backslash A=A\prime \in \mathcal{A}$
$A \backslash B=X\ \emptyset= X \in \mathcal{A}$
Czy tutaj też wszystko sprawdzać?
$\mathcal{A}=\{\emptyset, A, A\prime, X\}$ - pierścień, ale czy ciało?
$3^\circ$ Komplementarność
$A \in \mathcal{A} \Rightarrow A\prime \in \mathcal{A}$
$A\prime \in \mathcal{A} \Rightarrow X \backslash A\prime \in \mathcal{A}$
$A \in \mathcal{A} \Rightarrow X \backslash A=A\prime in \mathcal{A}$
$\mathcal{A}=\{\emptyset, A, A\prime, X\}$ - ciało.
$\sigma$ - ciało, $\sigma$ - pierścień
$\sigma$ - addytywność
$A_{n} \in \mathcal{A}, n \in N\Rightarrow\bigcup\limits_{n=1} A_{n} \in \mathcal{A}$
$\bigcup\limits_{n=1} A_{n}=\emptyset\cup A\cup A\prime\cup X \cup ... \in \mathcal{A}$
$A=\{\emptyset, A, A\prime, X\}$ - $\sigma$ - ciało, $\sigma$ - pierścień

podpunkt c)
$A=\{\emptyset, A\}$
$0^\circ$ Niepustość zapewniona, bo $\emptyset\in \mathcal{A}$
$1^\circ$ Addytywność
$A\cup B=\emptyset+A=A \in \mathcal{A}$
$2^\circ$ Dyferentywność:
$A \backslash B=A\ \emptyset=A \in \mathcal{A}$
$3^\circ\sigma$ - addytywność
$\bigcup\limits_{n=1} A_{n}=\emptyset\cup A\cup... in \mathcal{A}$, czyli $A=\{\emptyset, A\}$ to pierścień i $\sigma$ - pierścień.


Wiadomość była modyfikowana 2015-11-11 18:03:08 przez iwonkaczapie9

tumor
postów: 8085
2015-11-11 18:03:39

Addytywność to nie tylko przypadek
$\emptyset \cup X$
Także
$\emptyset \cup \emptyset$
albo
$X\cup X$
-----

Podobnie dyferentywność to także
$\emptyset \backslash \emptyset$
$X\backslash X$

NA JAKIEJ PODSTAWIE OMIJASZ TE MOŻLIWOŚCI?

Czemu licząc przeliczalną sumę masz pewność, że drugim składnikiem jest X?


iwonkaczapie9
postów: 40
2015-11-11 21:45:00

czy mogę prosić po prostu o sprawdzenie tego? to, że tak omijam to tylko dlatego, że nie potrafie tego zrobić

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 31 drukuj