Analiza matematyczna, zadanie nr 3795

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
iwonkaczapie9 postów: 40	2015-11-10 19:39:39 Mam takie zadanie: wykaż, że: a)jeżeli X jest dowolnym, niepustym zbiorem, to $\mathcal{A}=\left\{\emptyset\right\},$ jest pierścieniem oraz $\sigma-$pierścieniem, b) jeżeli X jest dowolnym, niepustym zbiorem, to $\mathcal{A}=\left\{\emptyset, X\right\},$ jest pierścieniem,$\sigma-$pierścieniem,ciałem oraz $\sigma-$ciałem, c)jeżeli X jest dowolnym, niepustym zbiorem i $\emptyset\neq\mathcal{A}\varsubsetneq X$, to $\mathcal{A}= \left\{\emptyset, X \right\},$ jest pierścieniem oraz $\sigma-$pierścieniem,ciałem oraz $\sigma-$ciałem, d)jeżeli X jest dowolnym, niepustym zbiorem i $\emptyset\neq\mathcal{A}\varsubsetneq X$, to $\mathcal{A}= \left\{\emptyset,A, A^',X \right\},$ jest pierścieniem, $\sigma-$pierścieniem,ciałem oraz $\sigma-$ciałem. Bardzo proszę o pomoc. Wiadomość była modyfikowana 2015-11-10 19:40:03 przez iwonkaczapie9

tumor postów: 8070	2015-11-10 20:35:29 No i świetnie. Jakie warunki sprawdzasz w a)? Jak to robisz? Przeczytałaś je wcześniej ze zrozumieniem?

iwonkaczapie9 postów: 40	2015-11-10 23:13:45 w a) sprawdzam addytywność, $\sigma-$ addytywność, niepustość zbioru jest zapewniona, bo do rodziny A należy element, czyli zbiór pusty. Sprawdzam też dyferentywność. Wogole mogę w a) skorzystać z twierdzenia, że każdy pierścień i $\sigma-$ pierścień zawiera zbiór pusty a w b) mogę skorzystać z tego tw. co wcześniej i z tego, że każde ciało oraz sigma ciało zawiera zbiór X.

tumor postów: 8070	2015-11-10 23:16:45 Dobrze wymieniasz nazwy warunków. To teraz pokaż $\sigma$-addytywność w podpunktach a) i b), to już będziemy w połowie drogi, z $\sigma$-addytywności oczywiście wynika od razu addytywność.

iwonkaczapie9 postów: 40	2015-11-11 00:47:43 Bardzo chciała bym się nauczyć to rozpisywać czy mogę prosić o rozpisanie przykładu a) ja wtedy rozpisze przykłady od a do d wg podanego przez Pana wzoru. Potrafię wykorzystać definicje, jednak najwięcej trudu sprawia mi samo rozpisanie tego.

tumor postów: 8070	2015-11-11 08:47:07 Widzisz, na forum jest kilka kont, które się uruchamiają dokładnie w tym samym czasie i piszą bardzo podobne zadania. Może korzystaj z przykładów w tych zadaniach? $A=\{\emptyset\}$ oznacza tylko, że rodzina A składa się z JEDNEGO zbioru, który do tego jest zbiorem pustym. Addytywność sprawdzamy, biorąc DOWOLNE DWA elementy rodziny A i dodając je. Ale tu OBA elementy muszą być tym samym zbiorem pustym, bo w A nie ma niczego więcej! Jeśli dodamy do siebie dwa zbiory puste, to mamy $\emptyset \cup \emptyset = \emptyset$, co naprawdę nie jest trudne. I co, wynik należy do A? Należy. Addytywność mówi właśnie tyle, że jeśli mamy dwa zbiory z A, to wynik sumy ZAWSZE też należy do A. No i działa, bo są tu tylko zbiory puste, które do A należą. Przeliczalna addytywność się tu szczególnie nie różni. Teraz mamy przeliczalnie wiele zbiorów z A. No ale i tak WSZYSTKIE ONE są zbiorami pustymi, bo w A nie ma żadnych innych elementów niż zbiór pusty. Jeśli dodasz dowolnie wiele zbiorów pustych, to wynikiem wciąż będzie zbiór pusty, a on należy do A. Czyli ta rodzina jest przeliczalnie addytywna. Bo wynik sumy przeliczalnie wielu elementów z A na pewno należy do A. Rodzina A jest także dyferentywna, czyli zamknięta na różnice. Bo jeśli weźmiesz dwa zbiory z A, to oba będą zbiorami pustymi. Różnica zbiorów pustych także jest zbiorem pustym. Czyli różnica należy do A. Pisząc to samo symbolicznie (tylko nie znasz symboli), dostaniemy $\forall_{B,C\in A}B=C=\emptyset$ wobec czego $\forall_{B,C\in A}B\cup C=\emptyset\cup \emptyset \in A$ a także $\forall_{B,C\in A}B\backslash C=\emptyset\backslash \emptyset \in A$. Ponadto mamy $\forall_{B_n\in A}B_n=\emptyset$ zatem $\forall_{B_n\in A}\bigcup_{n\in N}B_n=\bigcup_{n\in N}\emptyset=\emptyset\in A$ Tylko CAŁA TA SYMBOLIKA nie mówi nic innego niż wcześniejszy zapis słowny. To to samo. Staraj się zrozumieć słowa, a potem symbole (bo symbole oznaczają słowa). Rozumiesz?

iwonkaczapie9 postów: 40	2015-11-11 17:45:38 Podpunkt b) Tak już rozumiem, jednak $\sigma$ addytywność wciąż sprawia mi problem jak jest więcej elementów zbioru. $A=\{\emptyset, X\}$ Pierścień? $0^\circ$ Niepustość zapewniona, bo $\emptyset\in \mathcal{A}$ $A,B \in \mathcal{A} \Rightarrow A\cup B \in \mathcal{A} $ $A\cup B=\emptyset + X= X \in \mathcal{A}$ $2^\circ$ Dyferentywność $A,B \in \mathcal{A} \Rightarrow A\backslash B \in \mathcal{A}$ $A\backslash B=X \backslash \emptyset= X \in \mathcal{A}$ $\mathcal{A}=\{\emptyset, X\}$ - pierścień Czy jest $\sigma-$ pierścień? $3^\circ \sigma$ addytywność + warunki (dyferentywność, niepustość- zapewnione) $A_{n} \in \mathcal{A}, n \in N \Rightarrow\bigcup\limits_{n=1} A_{n} \in \mathcal{A}$ $\bigcup\limits_{n=1} A_{n}=\emptyset\cup X\cup ... \in \mathcal{A}$ $\mathcal{A}=\{\emptyset, X\}$ - $\sigma-$pierścień Czy jest ciałem? Mamy wykazać komplementarność. $A \in \mathcal{A}\Rightarrow A\prime \in \mathcal{A}$ $ X \in \mathcal{A} \Rightarrow X\backslash X=\emptyset \in \mathcal{A}$ $\mathcal{A}=\{\emptyset, X\}$ - ciało oraz $\sigma-$ ciało

iwonkaczapie9 postów: 40	2015-11-11 17:59:48 Podpunkt d) $\mathcal{A}=\{\emptyset, A, A\prime, X\}$ $0^\circ$ Niepustość zapewniona, bo $\emptyset\in \mathcal{A}$ $1^\circ$ Addytywność $A,B \in \mathcal{A} \Rightarrow A\cup B \in \mathcal{A}$ $A\cup B=\emptyset + \mathcal{A}= A \in \mathcal{A}$ $A\cap B= A\prime + \mathcal{A}= X \in \mathcal{A}$ Tutaj nie wiem czy mam sprawdzać wszystkie możliwe kombinacje elementów zbioru $A$? Dyferentywność: $A,B \in \mathcal{A} \Rightarrow A \backslash B \in \mathcal{A}$ $A \backslash B=X \backslash A=A\prime \in \mathcal{A}$ $A \backslash B=X\ \emptyset= X \in \mathcal{A}$ Czy tutaj też wszystko sprawdzać? $\mathcal{A}=\{\emptyset, A, A\prime, X\}$ - pierścień, ale czy ciało? $3^\circ$ Komplementarność $A \in \mathcal{A} \Rightarrow A\prime \in \mathcal{A}$ $A\prime \in \mathcal{A} \Rightarrow X \backslash A\prime \in \mathcal{A}$ $A \in \mathcal{A} \Rightarrow X \backslash A=A\prime in \mathcal{A}$ $\mathcal{A}=\{\emptyset, A, A\prime, X\}$ - ciało. $\sigma$ - ciało, $\sigma$ - pierścień $\sigma$ - addytywność $A_{n} \in \mathcal{A}, n \in N\Rightarrow\bigcup\limits_{n=1} A_{n} \in \mathcal{A}$ $\bigcup\limits_{n=1} A_{n}=\emptyset\cup A\cup A\prime\cup X \cup ... \in \mathcal{A}$ $A=\{\emptyset, A, A\prime, X\}$ - $\sigma$ - ciało, $\sigma$ - pierścień podpunkt c) $A=\{\emptyset, A\}$ $0^\circ$ Niepustość zapewniona, bo $\emptyset\in \mathcal{A}$ $1^\circ$ Addytywność $A\cup B=\emptyset+A=A \in \mathcal{A}$ $2^\circ$ Dyferentywność: $A \backslash B=A\ \emptyset=A \in \mathcal{A}$ $3^\circ\sigma$ - addytywność $\bigcup\limits_{n=1} A_{n}=\emptyset\cup A\cup... in \mathcal{A}$, czyli $A=\{\emptyset, A\}$ to pierścień i $\sigma$ - pierścień. Wiadomość była modyfikowana 2015-11-11 18:03:08 przez iwonkaczapie9

tumor postów: 8070	2015-11-11 18:03:39 Addytywność to nie tylko przypadek $\emptyset \cup X$ Także $\emptyset \cup \emptyset$ albo $X\cup X$ ----- Podobnie dyferentywność to także $\emptyset \backslash \emptyset$ $X\backslash X$ NA JAKIEJ PODSTAWIE OMIJASZ TE MOŻLIWOŚCI? Czemu licząc przeliczalną sumę masz pewność, że drugim składnikiem jest X?

iwonkaczapie9 postów: 40	2015-11-11 21:45:00 czy mogę prosić po prostu o sprawdzenie tego? to, że tak omijam to tylko dlatego, że nie potrafie tego zrobić

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj