logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 3796

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

michmat698
postów: 12
2015-11-11 15:35:47

Cześć mam pytanko mógłby mi któs wytłumaczyć na jakiej zasadzie określa się znaki > < $\le \ge$ w takim zadaniu :

Rozwiązać równania:
$|2x + 2| + x = 5 $
i rozwiązanie mam takie:
$D_{1}x \le -1 o-(2x+2) + x = 5 $
$ D_{2}x > -1 (2x+2) + x = 5$

Dzięki wielkie :)

Albo tak jak tutaj jest http://www.math.edu.pl/rownania-wartosc-bezwzgledna
równanie |x - 1| + |x + 3| = 4
to czemu zbior pierwszy ma $(-\infty;-3> $ itd

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-11 15:47:37 przez michmat698

tumor
postów: 8070
2015-11-11 16:35:04


W pierwszym przykładzie masz jedną wartość bezwzględną,
|2x+2|=2x+2 jeśli $x\ge -1$
|2x+2|=-2x-2 jeśli $x<-1$
Przy tym nie ma znaczenia, w którym z dwóch przypadków dopisze się równość, byle tylko w jednym.

W drugim przykładzie masz dwie wartości bezwzględne
|x-1|=x-1 jeśli $x\ge 1$
|x-1|=-x+1 jeśli $x<1$
|x+3|=x+3 jeśli $x\ge -3$
|x+3|=-x-3 jeśli $x<-3$

Dlatego właśnie przedziały są od $-\infty$ do -3, od -3 do 1, a potem od 1 do $+\infty$.
Nie ma znaczenia, do których przedziałów włączysz końce, ważne, że sam koniec (np x=1) ma być włączony do dokładnie jednego przedziału.

Pozbywanie się wartości bezwzględnej polega na ustaleniu, czy wyrażenie wewnątrz jest ujemne czy dodatnie. Jeśli tego nie wiadomo, to rozbijamy zadanie na dwa przypadki. Tak powstają przedziały.


michmat698
postów: 12
2015-11-11 17:07:13

Dzięki za odpowiedź i wytłumaczenie, ale mam jeszcze takie pytanko, jak mam 2|x|-|x+1| = 2 to z tego co mówisz to nie ma znaczenia czy napisze zbiory :
$(-\infty;-1>$
$(-1;0>$
$(0;+\infty)$
Dobrze Ciebie zrozumiałem czy nie bardzo? Bo jak obliczam 2 i 3 zbiór to wychodzi mi identyczne obliczenie.


tumor
postów: 8070
2015-11-11 17:14:40

Bardzo dobrze.
Masz dwie wartości bezwzględne. Musisz znaleźć te punkty, w których któraś z wartości się zeruje.
x się zeruje oczywiście dla x=0,
zatem podział będzie właśnie w 0.

x+1 się zeruje dla x=-1
czyli będzie podział w -1.

Jeśli teraz weźmiesz element podziału, na przykład przedział $(-\infty,-1>$
to jest jasne, jak pozbyć się wartości bezwzględnych. Bo w tym przedziale x jest ujemny, czyli
|x|=-x
Także x+1 jest ujemny (lub równy 0), zatem
|x+1|=-x-1

Zależnie od tego, w którym jesteśmy przedziale, w inny sposób będziemy się pozbywać wartości bezwzględnych. Po to się te przedziały tworzy.


michmat698
postów: 12
2015-11-11 17:26:01

Aha czyli ogólnie może być tak zapisane ale też mogłoby być np:
$(-\infty;-1) <-1;0> (0;+\infty)$
i też będzie ok ?


tumor
postów: 8070
2015-11-11 17:59:46

Tak.
|0|=0=-0
Zatem jest obojętne, czy punkty, w których wartość bezwzględna się zeruje, włączysz do tego przedziału, gdzie wnętrze jest dodatnie, czy do tego, gdzie wnętrze jest ujemne. Nic to nie zmienia w rozwiązaniu.


michmat698
postów: 12
2015-11-11 18:24:56

Okej to teraz już ostatnie prośba czy możesz sprawdzić czy dobrze to wychodzi ( bo dwa razy taki sam wynik wychodzi ale tak może być tak?):
|x| + |x+2|=2 to wyszło mi takie coś:
$(-\infty;-2) -x-x-2=2 \Rightarrow x=-2 $
$<-2;0> x+x+2=2\Rightarrow x=0$
$(0;+\infty) x+x+2=2\Rightarrow x=0$


tumor
postów: 8070
2015-11-11 18:32:16

wynik x=0, gdyby nawet wyszedł w dwóch przypadkach, bierzesz pod uwagę TYLKO gdy spełnia założenia (czyli gdy jest w przedziale, który rozważasz)

Zatem jeśli rozważasz przedział $(0,+\infty)$, a wyjdzie wynik $x=0$, to wynik nie należy do rozważanego przedziału i w tym miejscu go odrzucamy. (tak samo odrzucamy $x=-2$, jeśli nie jest w rozważanym przedziale)

Gdy rozważasz przedział $<-2,0>$ i wyjdzie wynik x=0, to go akceptujemy, bo znajduje się w rozważanym przedziale.

Natomiast drugi przedział masz rozwiązany niepoprawnie.


michmat698
postów: 12
2015-11-11 18:42:56

Rozumiem że zawsze wybieram ten wynik który mieści się w przedziale, ale nie wiem właśnie co jest nie tak w tym drugim przedziale... jakaś wskazówka? :)


tumor
postów: 8070
2015-12-06 10:58:16

$ <-2,0>$
dostajemy równanie
$-x+x+2=2$
$0=0$
rozwiązaniem jest cały przedział $<-2,0>$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 31 drukuj