logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3799

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kasiaiw
postów: 50
2015-11-11 18:23:06

Proszę o pomoc w wykazaniu, że:
a)jeżeli X jest dowolnym, niepustym zbiorem i $\emptyset \neq A \subsetneq A,$ to $\mathcal{A}=\{\emptyset, A, A^', X \}$ jest pierścieniem, $\sigma-$pierścieniem, ciałem oraz $\sigma-$całem,
b) jeżeli X jest dowolnym, niepustym zbiorem to rodzina $\mathcal{A}$ wszystkich skończonych podzbiorów zbioru X jest ciałem,
c)jeżeli X jest dowolnym, niepustym zbiorem i card X >$N_0$, to rodzina $\mathcal{A}:=\left\{ {\overline{A}} < N_0 \vee {\overline{A'}}<N_0 \right\}$ jest ciałem. Czy $\mathcal{A}$ jest $\sigma$-ciałem?

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-11 18:25:44 przez kasiaiw

tumor
postów: 8085
2015-11-13 19:00:27

a) wystarczy wykazać $\sigma$-ciało, reszta z tego wprost wynika

niepustość oczywista

komplementarność oczywista, bo widać, że dopełnienia wszystkich zbiorów też nalezą do $\mathcal{A}$

$\sigma$-addytywność
Dodawanie samych zbiorów pustych da zbiór pusty, jeśli wśród sumowanych zbiorów będzie tylko A i być może zbiory puste, to wynikiem sumowania jest A, jeśli tylko A` i być może zbiory puste, to wynikiem będzie A`, a jeśli wśród sumowanych zbiorów jest X lub oba A,A`, to wynikiem jest X


-----------

b) Niekoniecznie.

Jeśli X jest zbiorem skończonym niepustym, wtedy rodzina jego podzbiorów skończonych (czyli wszystkich) jest zamknięta na działania sumy, przekroju, różnicy, dopełnienia.

Jeśli jednak X jest nieskończony, to dopełnienie skończonego podzbioru X jest nieskończone.

Natomiast rodzina skończonych podzbiorów zbioru X jest pierścieniem, jest zamknięta na skończone sumy, skończone przekroje, różnice.


tumor
postów: 8085
2015-11-13 19:03:04

c)
Elementy rodziny są skończone lub mają skończone dopełnienia.
Zbiór pusty należy do tej rodziny.
Suma dwóch zbiorów skończonych jest skończona, dopełnienie zbioru skończonego ma skończone dopełnienie, dopełnienie zbioru o skończonym dopełnieniu jest zbiorem skończonym, suma dwóch zbiorów z których przynajmniej jeden ma skończone dopełnienie też ma skończone dopełnienie.

Niekoniecznie jest to $\sigma$-ciało.
Suma przeliczalna zbiorów skończonych może być zbiorem nieskończonym, który jednak nie ma skończonego dopełnienia.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 36 drukuj