Analiza matematyczna, zadanie nr 3799

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kasiaiw postów: 50	2015-11-11 18:23:06 Proszę o pomoc w wykazaniu, że: a)jeżeli X jest dowolnym, niepustym zbiorem i $\emptyset \neq A \subsetneq A,$ to $\mathcal{A}=\{\emptyset, A, A^', X \}$ jest pierścieniem, $\sigma-$pierścieniem, ciałem oraz $\sigma-$całem, b) jeżeli X jest dowolnym, niepustym zbiorem to rodzina $\mathcal{A}$ wszystkich skończonych podzbiorów zbioru X jest ciałem, c)jeżeli X jest dowolnym, niepustym zbiorem i card X >$N_0$, to rodzina $\mathcal{A}:=\left\{ {\overline{A}} < N_0 \vee {\overline{A'}}<N_0 \right\}$ jest ciałem. Czy $\mathcal{A}$ jest $\sigma$-ciałem? Wiadomość była modyfikowana 2015-11-11 18:25:44 przez kasiaiw

tumor postów: 8070	2015-11-13 19:00:27 a) wystarczy wykazać $\sigma$-ciało, reszta z tego wprost wynika niepustość oczywista komplementarność oczywista, bo widać, że dopełnienia wszystkich zbiorów też nalezą do $\mathcal{A}$ $\sigma$-addytywność Dodawanie samych zbiorów pustych da zbiór pusty, jeśli wśród sumowanych zbiorów będzie tylko A i być może zbiory puste, to wynikiem sumowania jest A, jeśli tylko A` i być może zbiory puste, to wynikiem będzie A`, a jeśli wśród sumowanych zbiorów jest X lub oba A,A`, to wynikiem jest X ----------- b) Niekoniecznie. Jeśli X jest zbiorem skończonym niepustym, wtedy rodzina jego podzbiorów skończonych (czyli wszystkich) jest zamknięta na działania sumy, przekroju, różnicy, dopełnienia. Jeśli jednak X jest nieskończony, to dopełnienie skończonego podzbioru X jest nieskończone. Natomiast rodzina skończonych podzbiorów zbioru X jest pierścieniem, jest zamknięta na skończone sumy, skończone przekroje, różnice.

tumor postów: 8070	2015-11-13 19:03:04 c) Elementy rodziny są skończone lub mają skończone dopełnienia. Zbiór pusty należy do tej rodziny. Suma dwóch zbiorów skończonych jest skończona, dopełnienie zbioru skończonego ma skończone dopełnienie, dopełnienie zbioru o skończonym dopełnieniu jest zbiorem skończonym, suma dwóch zbiorów z których przynajmniej jeden ma skończone dopełnienie też ma skończone dopełnienie. Niekoniecznie jest to $\sigma$-ciało. Suma przeliczalna zbiorów skończonych może być zbiorem nieskończonym, który jednak nie ma skończonego dopełnienia.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj