logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Logika, zadanie nr 3801

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

gaha
postów: 136
2015-11-11 23:13:15

Proszę o pomoc!

Zadanko wygląda tak:
Zapisz przy pomocy symboli matematycznych poniższe wyrażenie:

Proste k i l (w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej) są równoległe
(skorzystać z oznaczeń: $\alpha_{0}$ - zbiór punktów przestrzeni euklidesowej, $\alpha_{1}$ - zbiór prostych, $\alpha_{2}$ zbiór płaszczyzn, itd.).


Moja propozycja i wątpliwości:
$\exists_{y}(y \in \alpha_{2} \wedge k \subset y \wedge l \subset y \wedge \forall_{x}(x\in \alpha_{0} \wedge x \in k \Rightarrow x \notin l ))$

No i te wątpliwości. Dodam jeszcze, że ćwiczeniowiec jest pedantyczny, jeśli chodzi o zapis, ale to chyba nieodłączna część logiki. Mniejsza. No więc - w poleceniu mowa o prostych k i l. Oznacza, to, że nie muszę oznaczać ich dodatkowo w moim wyrażeniu jako proste, prawda? Tj. nie ma sensu pisać $k \in \alpha_{1} \wedge l \in \alpha_{1}$. To pierwsza z wątpliwości.

Numer dwa jest tą gorszą wątpliwością. Czy zapis $k \subset y \wedge l \subset y$ jest w porządku? Mianowicie - czy proste zawierają się w tej płaszczyźnie? Czy też do niej należą? Innymi słowy, są jej elementami czy podzbiorami? Intuicyjnie traktowałbym płaszczyznę jako zbiór punktów, w żadnym wypadku jako zbiór prostych. Co o tym myślicie?

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-11 23:17:28 przez gaha

kebab
postów: 106
2015-11-12 00:05:19

Ja tu widzę jeszcze inny problem.
Według Twojej definicji proste k=l nie będą równoległe.

Zmieniłbym warunek:
$\forall _x(x\in \alpha_0 \wedge x\in k \Rightarrow x\notin l)$

na:
$(\exists _{x\in \alpha_0}(x\in k \wedge x\in l))\Rightarrow k=l$


gaha
postów: 136
2015-11-12 00:31:38

Zdaje się, że zapomniałem o tym, że pokrywanie się prostych nie wyklucza ich równoległości. Poprawię to jednak w taki sposób. W swój sposób. Zgodzisz się, że teraz jest w porządku?

$\exists_{y}(y \in \alpha_{2} \wedge k \subset y \wedge l \subset y \wedge \forall_{x}(x\in \alpha_{0} \wedge x \in k \wedge x \in l \Rightarrow k = l ))$

lub po prostu:

$\exists_{y}(y \in \alpha_{2} \wedge k \subset y \wedge l \subset y \wedge \forall_{x}(x\in \alpha_{0} \wedge x \in k \wedge k \neq l \Rightarrow x \notin l ))$


gaha
postów: 136
2015-11-12 00:32:22

No i wątpliwości nadal pozostają nierozwiane!
Proszę o pomoc.


gaha
postów: 136
2015-11-12 15:48:03

Żeby moje zdanie nie zostało zapomniane pozwolę sobie dokonać takiego oto bumpa. Przepraszam, jeśli ktoś uzna to za spam. :)


kebab
postów: 106
2015-11-12 20:20:19

Moim zdaniem potrzebny jest warunek $k\in \alpha_1 \wedge l \in \alpha_1$, bo przecież my właśnie mamy napisać, że k i l są prostymi, które są równoległe.

Co do drugiej wątpliwości, to zamiast $k\subset y \wedge l \subset y$ możesz napisać:
$\forall_{x\in \alpha_0}(x\in k \Rightarrow x \in y) \wedge \forall_{x\in \alpha_0}(x\in l \Rightarrow x \in y)$

To są tylko moje przemyślenia, nie daję na to gwarancji :)

PS
Kiedy już się dowiesz na zajęciach jak powinno być poprawnie, to napisz :)


kebab
postów: 106
2015-11-13 12:35:34

Poza tym to wszystko nie musi być zapisane pod jednym kwantyfikatorem.
Tak bym zrobił:

$(k\in \alpha_1) \wedge (l \in \alpha_1) \wedge (\exists_{y \in \alpha_2} \forall_{x\in \alpha_0}((x\in k \vee x \in l)\Rightarrow x \in y)) \wedge ((\exists _{x\in \alpha_0}(x\in k \wedge x\in l))\Rightarrow k=l)$


gaha
postów: 136
2015-11-13 21:27:19

Zajęcia zajęciami, w końcu się dowiem, to prawda. Ale najpierw będzie kolokwium. Myślę, że nie mam wyboru i zaryzykuję, założę, że wszystko robię dobrze. Nie zaszkodzi jednak podyskutować.


Co do tego alternatywnego zapisu, że k i l zawiera się w y:

Jasne, że mogę tak to zapisać. Według tego zapisu punkty są elementami płaszczyzny. Ale jeśli punkty są elementami płaszczyzny, to nie ma takiej siły, która wmówiłaby mi, że proste nie są jej podzbiorami. Moim zdaniem to analogiczne. Przecież skoro punkty są elementami płaszczyzny, to punkty są również elementami prostej. Skoro prosta składa się z punktów, które tworzą również płaszczyznę, to prosta zawiera się w tej płaszczyźnie. Jest podzbiorem. I nie chce ona być elementem płaszczyzny.


Cholera. Najbardziej waham się co do tego oznaczania k i l jako proste. Nie myślisz, że k i l są odgórnie ustalone jako proste? Mam wrażenie, że nie wypada oznaczać ich dodatkowo w naszym zapisie.


kebab
postów: 106
2015-11-14 00:22:27

No tak, domyślnie przyjmujemy, że proste i płaszczyzny są zbiorami punktów. Czyli prosta jest podzbiorem płaszczyzny. Natomiast jak to zapisać zależy od tego, jakie symbole mamy do dyspozycji. Np. można by napisać:
$k\in \alpha_1 \wedge l \in \alpha_1 \wedge \exists _{y\in \alpha_2}(k\subset y \wedge l \subset y)\wedge (k \cap l =\emptyset \vee k=l)$

Co do drugiego problemu. Jeśli nie napiszemy warunku, że k i l są prostymi, to np. dwa rozłączne okręgi leżące na jednej płaszczyźnie też będą spełniać to zdanie, czyli będą równoległe :)


gaha
postów: 136
2015-11-14 00:48:21

Możliwych zapisów jest mnóstwo i chyba nie ma sensu wypisywać ich wszystkich. ^^

Rozumiem Twoją sugestię dotyczącą równoległych okręgów, ale mimo wszystko... w zadaniu mamy zapisać, że proste k i l są jakieś tam. Co znaczy, że działamy na k i l odgórnie będących prostymi! Moim zdaniem warunki do zapisania podyktowane są po słowie . Musielibyśmy dodać, że k i l są prostymi, w przypadku gdyby polecenie kazało nam zapisać wyrażenie:
k i l są prostymi równoległymi.

My natomiast mamy:
proste k i l są równoległe.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 22 drukuj