logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3808

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

dobrowolska
postów: 9
2015-11-12 15:30:22

Czy suma mnogościowa dwóch $\sigma-$ciał jest $\sigma-$ ciałem ?



Wiadomość była modyfikowana 2015-11-12 15:33:20 przez dobrowolska

dobrowolska
postów: 9
2015-11-12 15:33:30

Rozważmy następujące rodziny:

$\mathcal{A}=\{X,A, A',\emptyset\}$;
$\mathcal{B}=\{X,B, B', \emptyset\}$ , gdzie A,B, A',B'$\subset$X.
Wiem, że $\mathcal{A}$ i $\mathcal{B}$ są $\sigma-$ ciałami.
Proszę o pomoc w wykazaniu, że ich suma mnogościowa nie jest $\sigma-$ ciałem.

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-12 15:35:16 przez dobrowolska

tumor
postów: 8085
2015-11-12 16:18:34

Powiedz dwie rzeczy:
1) jak wygląda ich suma mnogościowa
2) jakie warunki musi ta suma spełniać, by być $\sigma$-ciałem


dobrowolska
postów: 9
2015-11-12 18:23:30

Suma mnogościowa będzie wyglądała następująco :{X,A,B, A', B' i $\emptyset$}.
Aby suma była $\sigma-$ciałem muszą być spełnione następujące warunki: niepustosc (co mamy zapewnione), $\sigma-$ addytywność i komplementarność.


tumor
postów: 8085
2015-11-12 20:59:12

No i świetnie. Komplementarność też jest przecież zapewniona, skoro wcześniej mieliśmy ciała.

Zatem jedyne, co może przeczyć tezie, że suma $ \sigma$-ciał też jest $\sigma$-ciałem to $\sigma$-addytywność.
Tak naprawdę wystarczy podać przykład, w którym nawet addytywności nie będzie, wtedy oczywiście nie będzie też $\sigma$-addytywności.

Dobierz zatem zbiory A i B w Twojej rodzinie zbiorów w taki sposób, żeby suma $A\cup B$ nie była żadnym ze zbiorów
$\{X,A,B, A`, B`, \emptyset\}$.
Wtedy ta rodzina, mimo iż niepusta i zamknięta na dopełnienia, nie jest addytywna i gotowe, masz rozwiązanie zadania.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 54 drukuj