logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3812

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

skrzycki
postów: 13
2015-11-13 09:55:05

Sprawdź, czy jeżeli rodziny $\mathcal{A_1} $ i $\mathcal{A_2}$ są pierścieniami ($\sigma-$pierścieniami, ciałami,$\sigma-$pierścieniami), to $\mathcal{A_1} \cup \mathcal{A_2}$ lub $\mathcal{A_1} \cap \mathcal{A_2}$ są odpowiednio pierścieniami ($\sigma-$pierścieniami, ciałami,$\sigma-$pierścieniami).


tumor
postów: 8085
2015-11-13 19:26:13

Weźmy $X=\{a,b,c,d,\}$
$\mathcal{A}_1=\{\emptyset \{a,b\},\{c,d\},X\}$
$\mathcal{A}_2=\{\emptyset \{a,c\},\{b,d\},X\}$

Są to $\sigma$-ciała, a zatem od razu ciała, pierścienie i $\sigma$-pierścienie.
$\mathcal{A}_1\cup \mathcal{A}_2$ nie jest jednak rodziną addytywną, czyli nie jest pierścieniem, ciałem, $\sigma$-pierścieniem ani $\sigma$-ciałem.

------------


Jeśli dowolne $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2$ są niepustymi rodzinami, które są

a) addytywne, to $\mathcal{A}_1 \cap \mathcal{A}_2$ jest rodziną addytywną, bo jeśli $A,B\in \mathcal{A}_1 \cap \mathcal{A}_2$, to $A,B \in \mathcal{A}_1$ czyli $A\cup B \in \mathcal{A}_2$ i analogicznie dla $\mathcal{A}_2$

b) $\sigma$-addytywne, to $\mathcal{A}_1 \cap \mathcal{A}_2$ jest rodziną $\sigma$-addytywną, bo jeśli przeliczalne sumy elementów tego przekroju należą i do $\mathcal{A}_1$ i do $\mathcal{A}_2$, to oczywiście należą i do przekroju.

c) komplementarne, to $\mathcal{A}_1 \cap \mathcal{A}_2$ jest rodziną komplementarną. Jeśli dopełnienie elementu przekroju należy do $\mathcal{A}_1$ i do $\mathcal{A}_2$, to oczywiście należy do przekroju.

d) dyferentywne, to $\mathcal{A}_1 \cap \mathcal{A}_2$ jest rodziną dyferentywną, bo skoro różnica $A\backslash B$ elementów $\mathcal{A}_1 \cap \mathcal{A}_2$ należy i do $\mathcal{A}_1$ i do $\mathcal{A}_2$, to należy do przekroju

Zatem przekrój dwóch ciał jest ciałem, dwóch pierścieni jest pierścieniem, dwóch $\sigma$-ciał jest $\sigma$-ciałem, dwóch $\sigma$-pierścieni jest $\sigma$-pierścieniem.

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-13 19:28:57 przez tumor
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 78 drukuj