logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 3828

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

lewy19pl
postów: 2
2015-11-16 18:32:05

Udowodnij że jeśli liczba x0 jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu W(x) to :

W(x0)=W'(x0)=...=W^{k-1}(x0)=0, W^{k}(x0) nie równa sie zero


tumor
postów: 8085
2015-11-16 19:40:01

Jeśli $W(x)=(x-x_0)^kP(x)$, dla pewnego $k\in N_+$, gdzie $P(x)$ to wielomian, którego pierwiastkiem nie jest $x_0$, to

$W`(x)=(x-x_0)^{k-1}(kP(x)+P`(x)*(x-x_0))$

Skoro $x_0$ nie był pierwiastkiem $P(x)$, to nie jest też pierwiastkiem $Q(x)=(kP(x)+P`(x)*(x-x_0))$

Wystarczy to rozumowanie zastosować k razy. k-ta pochodna sprawi, że zostanie sam wielomian niepodzielny przez $(x-x_0)$, a nawias $(x-x_0)$ z przodu zniknie.


janusz78
postów: 820
2015-11-16 19:53:00

Liczba $ x_{0}$ jest k krotnym pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ten jest podzielny przez $(x- x_{0})^{k}$ i niepodzielny przez $ (x-x_{0})^{k+1}$

Z założenia

$ W(x) = (x-x_{0})^{k}Q(x).$

Obliczając kolejne pochodne wielomianu W do k-tej włącznie, otrzymujemy

$ W'(x) = k(x-x_{0})^{k-1}Q(x) +(x-x_{0})^{k}Q'(x)$

$W'(x_{0})=0.$

$ W"(x) = k(k-1)(x-x_{0})^{k-2}Q'(x)+ k(x-x_{0})^{k-1}Q'(x)+ k(x-x_{0})^{k-1}Q'(x)+(x-x_{0})^{k}Q"(x).$

$ W"(x_{0})= 0.$

......................................................................
$W^{(k)}(x)= k(k-1)(k-2)...1(x-x_{0})+ R_{1}(x-x_{0})$

$ W^{(k)}(x_{0})= 0.$

$ W^{(k+1)}= k(k-1)(k-2)....1 + R_{2}(x-x_{0}).$

$ W^{(k+1)}(x_{0}) \neq 0.$

Co mieliśmy wykazać.



tumor
postów: 8085
2015-11-16 20:44:57

Bardzo ładnie spisałeś po mnie rozwiązanie. Gdy ordynarnie kopiujesz, to przynajmniej nie robisz gimnazjalnych błędów.


lewy19pl
postów: 2
2015-11-17 01:22:51

Dzięki wielkie za pomoc.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 53 drukuj