Algebra, zadanie nr 3828

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
lewy19pl postów: 2	2015-11-16 18:32:05 Udowodnij że jeśli liczba x0 jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu W(x) to : W(x0)=W'(x0)=...=W^{k-1}(x0)=0, W^{k}(x0) nie równa sie zero

tumor postów: 8070	2015-11-16 19:40:01 Jeśli $W(x)=(x-x_0)^kP(x)$, dla pewnego $k\in N_+$, gdzie $P(x)$ to wielomian, którego pierwiastkiem nie jest $x_0$, to $W`(x)=(x-x_0)^{k-1}(kP(x)+P`(x)(x-x_0))$ Skoro $x_0$ nie był pierwiastkiem $P(x)$, to nie jest też pierwiastkiem $Q(x)=(kP(x)+P`(x)(x-x_0))$ Wystarczy to rozumowanie zastosować k razy. k-ta pochodna sprawi, że zostanie sam wielomian niepodzielny przez $(x-x_0)$, a nawias $(x-x_0)$ z przodu zniknie.

janusz78 postów: 820	2015-11-16 19:53:00 Liczba $ x_{0}$ jest k krotnym pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ten jest podzielny przez $(x- x_{0})^{k}$ i niepodzielny przez $ (x-x_{0})^{k+1}$ Z założenia $ W(x) = (x-x_{0})^{k}Q(x).$ Obliczając kolejne pochodne wielomianu W do k-tej włącznie, otrzymujemy $ W'(x) = k(x-x_{0})^{k-1}Q(x) +(x-x_{0})^{k}Q'(x)$ $W'(x_{0})=0.$ $ W"(x) = k(k-1)(x-x_{0})^{k-2}Q'(x)+ k(x-x_{0})^{k-1}Q'(x)+ k(x-x_{0})^{k-1}Q'(x)+(x-x_{0})^{k}Q"(x).$ $ W"(x_{0})= 0.$ ...................................................................... $W^{(k)}(x)= k(k-1)(k-2)...1(x-x_{0})+ R_{1}(x-x_{0})$ $ W^{(k)}(x_{0})= 0.$ $ W^{(k+1)}= k(k-1)(k-2)....1 + R_{2}(x-x_{0}).$ $ W^{(k+1)}(x_{0}) \neq 0.$ Co mieliśmy wykazać.

tumor postów: 8070	2015-11-16 20:44:57 Bardzo ładnie spisałeś po mnie rozwiązanie. Gdy ordynarnie kopiujesz, to przynajmniej nie robisz gimnazjalnych błędów.

lewy19pl postów: 2	2015-11-17 01:22:51 Dzięki wielkie za pomoc.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj