logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3829

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sudent1234
postów: 15
2015-11-16 20:09:12

Oblicz granicę przy n dążącym do nieskończoności:

$\frac{1^3+4^3+...+(3n-2)^3}{n^4}$

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-16 20:10:04 przez sudent1234

kebab
postów: 106
2015-11-16 21:03:23

$1^3+4^3+\cdots +(3n-2)^3=\sum_{k=1}^{n}(3k-2)^3=\sum_{k=1}^{n}(27k^3-54k^2+36k-8)=$

$=27\sum_{k=1}^{n}k^3-54\sum_{k=1}^{n}k^2+36\sum_{k=1}^{n}k-8\sum_{k=1}^{n}1$

Korzystamy ze znanych wzorów:
$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$
$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$

Teraz wystarczy wszystko uporządkować i policzyć prostą granicę :)
Właściwie to nawet nie trzeba wszystkiego liczyć, bo wiadomo, że o granicy decyduje współczynnik stojący przy $n^4$ w liczniku i mianowniku :)
Czyli odpowiedź to $\frac{27}{4}$.


sudent1234
postów: 15
2015-11-16 21:32:47

Bardzo dziękuję ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 30 drukuj