logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 3830

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

student113
postów: 156
2015-11-16 21:11:30

Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć podane granice:

//zadania z podręcznika w którym są odpowiedzi, ale nie rozumie niektórych rozwiązań

a)$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{cos(x)}{\pi-2x}=(x=\frac{\pi}{2}+u)=\lim_{u \to 0} \frac{cos(\frac{\pi}{2}+u)}{\pi-2(\frac{\pi}{2}+u)}=\lim_{u \to 0}\frac{-sin u}{-2u}=\frac{1}{2}$

b)$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{cos^5 5x * cos^{17} 17x}{cos^9 9x * cos^{13} 13x}=(x=\frac{\pi}{2}-t)\lim_{t \to 0}\frac{[cos(\frac{5\pi}{2}-5t)]^5*[cos(\frac{17\pi}{2}-17t)]^{17}}{[cos(\frac{9\pi}{2}-9t)]^9*[cos(\frac{13\pi}{2}-13t)]^{13}}=\lim_{t \to 0}\frac{(sin5t)^5(sin17t)^{17}}{(sin9t)^9*(sin13t)^13}=...=\frac{5^5*17^{17}}{9^9*13^{13}}$

Ok, to są dwa przykłady, po pierwsze nie rozumie w czym tkwi różnica pomiędzy u i t ($x=\frac{\pi}{2}+u$, $x=\frac{\pi}{2}-t)$, dlaczego raz jest + a raz -, no i po drugie skąd nagle z cosinusa przechodzimy na sinusa, domyślam się że wynika to z jakieś tożsamości, proszę o wytłumaczenie tych dwóch problemów. W ogóle nie wiem jak dokładnie jest z tą zamianą granicy, jak gdzie i kiedy można to stosować ?


tumor
postów: 8085
2015-11-16 21:22:15

u ma kształt miski z jedną nóżką, a t ma daszek. Gdyby wiało, to t się może przewrócić łatwiej niż u. O jakie jeszcze różnice pytasz?

Przekształcenia między funkcjami trygonometrycznymi to kwestia wzorów redukcyjnych. Na przykład
$sin(2\pi+x)=sinx$
$cos(0,5\pi+x)=-sinx=sin(-x)$
Wzorów takich jest sporo, wystarczy popatrzeć na wykresy sin i cos żeby widzieć, na jak wiele sposobów można z jednego wykresu otrzymać drugi (symetrie, przesunięcia).


student113
postów: 156
2015-11-16 21:26:57

$\lim_{x \to 2}\frac{2^x-x^2}{x-2}=\lim_{x \to 2}\frac{(2^x-4)-(x^2-4)}{x-2}=\lim_{x \to 2}\frac{2^x-4}{x-2}-\lim_{x \to 2}\frac{(x^2-4)}{x-2}=\lim_{x \to 2}4\frac{2^{x-2}-1}{x-2}-\lim_{x \to 2}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=4*ln(2)-4$

To jest jeszcze jeden przykład nie wiem, czy trzeba po prostu umieć go na pamięć , skąd normalna osoba będzie wiedziała żeby tam odjąć 4, potem wyciągnąć 4 przed pierwszą granice, no i w ogóle rozbić na dwie granice. Jest tu jakaś zasada czy to wyższy poziom wtajemniczenia?


student113
postów: 156
2015-11-16 21:38:25

Dobre, ktoś tu ma dzisiaj dobry humor, mogłeś dodać że u jest kształtem podobne do podkowy to od razu zauważył bym różnice.
Ale jak mówią urolodzy, odłóżmy jaja na bok.
Ja to rozumie tak:
u ma się równać zero : $u=0$
x mamy podane do czego dąży: $x=\frac{\pi}{2}$
robimy tak aby równało się zero: $0=\frac{\pi}{2}-x$
podstawiamy u: $u=\frac{\pi}{2}-x$
i u wychodzi takie $x=\frac{\pi}{2}-u$ a w zadaniu wychodzi $x=\frac{\pi}{2}+u$
Podobnie rozumuje dla t ale tam już dobrze wychodzi z minusem.
Poje pytanie brzmi, dlaczego przy zmianie granicy z x na u (nawiasem mówiąc x w obu przypadkach dąży do $\frac{\pi}{2}$) wychodzi inny wzór na x niż w przypadku t?


tumor
postów: 8085
2015-11-16 21:49:06

Kreatywność. Wcale nie jest to jedyna metoda rozwiązywania tego zadania.

Ogólnie PRZESTAŃ myśleć o matematyce jak o zbiorze jasnych wytycznych jak rozwiązywać zadania. Matematyka jest tą kreatywnością właśnie, która pozwala problem rozwiązać. Zaczyna się zawsze od przykładów prostych, bo w szkole przy klasie (30 osób i więcej) nie da się ćwiczyć kreatywności jednostek. Pokazuje im się gotowce. Natomiast matma to nie są gotowce, ale szukanie własnych dróg.
Ta powyżej jest bardzo ładna. To przykład sprytnego policzenia pewnej granicy, gdy można metodą brutalną (tu natychmiastowo zadziała bardzo ogólna reguła de l'Hospitala).

Zaletą takiej armaty, metody ogólnej, jest jej uniwersalność, mówi to coś nie tylko o konkretnej granicy, ale też o całych klasach granic.
Zaletą takiej pojedynczej granicy jest ćwiczenie umysłu, szukanie ciekawych dróg rozwiązań.

Tak naprawdę już w podstawówce dałoby się uczniom serwować przykłady w taki sposób, by musieli szukać dobrych metod, a nie tylko stosować gotowce. Ale to pieśń przyszłości.


------

To, co wziąłeś (błędnie) za żart, miało Cię poinformować, że u i t i s i w i p i q to są literki. Różnią się kształtem. Jeśli nie lubisz kształtu u, to stosuj sobie t. A jeśli nie lubisz t, to stosuj w. Albo inne literki. Czy sądzisz, że jak zamiast x napiszesz y, a zamiast y napiszesz x, to się matematyka zmieni? :) Gdzie dotychczas było 7, teraz będzie 11?

No u licha. To literki. Symbole. Bierzemy jakąś literkę, której nie było wcześniej, żeby się nie myliła. To na przykład u, bo u jest piękna. Na u zaczynają się najładniejsze słowa języka polskiego, jak ukwiał albo uwiąd.

Podstawienie w podanych przez Ciebie przykładach zastosowano takie, żeby w mianowniku było tylko u albo tylko t. Żeby się fajnie skracało, żeby granice były takie jak poznane wcześniej. Zrobiono to dla wygody i czytelności. Nie ma tu żadnego magicznego kryterium, kiedy stosować t, albo czy za t podstawić x-2 czy może $sin^2(ln\frac{\pi}{x})$. Stosuje się to, co w sposób pewny, wygodny, elegancki, możliwie szybki, czytelny prowadzi do wyniku.



student113
postów: 156
2015-11-16 22:01:13

Ok, może jestem początkowym informatykiem, ale mam zajęcia z programowania i wiem co to jest zmienna, wiem że nazwa, oznaczenie nie jest najważniejsze. Ale gdzie ty tu widzisz jasność czytelność, przed i po powinno być to samo. To co będę miał granice $\lim_{x \to 4}$ i zamienię to sobie na $x=2-u$ bo akurat tak będzie mi się fajnie skracało z mianownikiem? Sorry ale nie kupuje tego. Jak może być zamiana granicy z x dążącego do $\frac{\pi}{2}$ raz z "zmienną" (nazwijmy to tak żeby nie było nieporozumień z l i t e r k a m i) na minusie a raz na plusie.


tumor
postów: 8085
2015-11-16 22:32:13

Możesz mówić o zmiennych.

Użyto dwóch literek, bo używający uznał, że to bez znaczenia. Litery u,t są pierwszymi rozważanymi przy podstawieniach dlatego, że mają mało innych typowych zastosowań. Różne litery TYPOWO stosuje się w pewien sposób, nie dlatego, że trzeba, ale dlatego, że wtedy czytający nie jest zaskoczony.

W przykładzie a) dobrano podstawienie w taki sposób, by skorzystać z granicy $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$
Oczywiście użyto literki u. Żeby skorzystać z tej granicy, mianownik musiał być u, natomiast ważne, że granicę liczymy w zerze. Nie gdziekolwiek.
Skoro zatem $x\to \frac{\pi}{2}$, to u musiało być o $\frac{\pi}{2}$ mniejsze niż x (ewentualnie mieć do tego zmieniony znak, ale nie wybrano tej opcji), stąd $u=x-\frac{\pi}{2}$

W przykładzie b) skorzystano z tej samej granicy, wcześniej jednak dokonując pewnych przekształceń na funkcjach trygonometrycznych.
Możesz sprawdzić, czy podstawienie $t=x-\frac{\pi}{2}$ przypadkiem nie zadziała. Może się okazać, że też będzie niezłe.
Ważne jest, że potrzebujemy zmiennej zbliżającej się do 0, żeby użyć znanej granicy.
Ważne jest, by zachodziła odpowiedniość $t\to 0 \iff x\to \frac{\pi}{2}$.
Tyle. Granice naprawdę da się rozwiązywać różnie, przykładowe sposoby to nie są jedyne możliwe. Możesz wykuć te sposoby na pamięć, ale nie o to chodzi. To są tylko przykłady sprytu, żebyś widział, jak stosować można różne sztuczki nie tracąc jednak na ścisłości rozumowań i poprawności wyniku.


student113
postów: 156
2015-11-16 22:56:54

Ok

Wiadomość była modyfikowana 2015-11-16 23:11:04 przez student113
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 120 drukuj