Analiza matematyczna, zadanie nr 3830
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
student113 post贸w: 156 |  2015-11-16 21:11:30Korzystaj膮c z granic podstawowych wyra偶e艅 nieoznaczonych obliczy膰 podane granice: //zadania z podr臋cznika w kt贸rym s膮 odpowiedzi, ale nie rozumie niekt贸rych rozwi膮za艅 a)$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{cos(x)}{\pi-2x}=(x=\frac{\pi}{2}+u)=\lim_{u \to 0} \frac{cos(\frac{\pi}{2}+u)}{\pi-2(\frac{\pi}{2}+u)}=\lim_{u \to 0}\frac{-sin u}{-2u}=\frac{1}{2}$ b)$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{cos^5 5x * cos^{17} 17x}{cos^9 9x * cos^{13} 13x}=(x=\frac{\pi}{2}-t)\lim_{t \to 0}\frac{[cos(\frac{5\pi}{2}-5t)]^5*[cos(\frac{17\pi}{2}-17t)]^{17}}{[cos(\frac{9\pi}{2}-9t)]^9*[cos(\frac{13\pi}{2}-13t)]^{13}}=\lim_{t \to 0}\frac{(sin5t)^5(sin17t)^{17}}{(sin9t)^9*(sin13t)^13}=...=\frac{5^5*17^{17}}{9^9*13^{13}}$ Ok, to s膮 dwa przyk艂ady, po pierwsze nie rozumie w czym tkwi r贸偶nica pomi臋dzy u i t ($x=\frac{\pi}{2}+u$, $x=\frac{\pi}{2}-t)$, dlaczego raz jest + a raz -, no i po drugie sk膮d nagle z cosinusa przechodzimy na sinusa, domy艣lam si臋 偶e wynika to z jakie艣 to偶samo艣ci, prosz臋 o wyt艂umaczenie tych dw贸ch problem贸w. W og贸le nie wiem jak dok艂adnie jest z t膮 zamian膮 granicy, jak gdzie i kiedy mo偶na to stosowa膰  ? |
tumor post贸w: 8070 | 2015-11-16 21:22:15 u ma kszta艂t miski z jedn膮 n贸偶k膮, a t ma daszek. Gdyby wia艂o, to t si臋 mo偶e przewr贸ci膰 艂atwiej ni偶 u. O jakie jeszcze r贸偶nice pytasz? Przekszta艂cenia mi臋dzy funkcjami trygonometrycznymi to kwestia wzor贸w redukcyjnych. Na przyk艂ad $sin(2\pi+x)=sinx$ $cos(0,5\pi+x)=-sinx=sin(-x)$ Wzor贸w takich jest sporo, wystarczy popatrze膰 na wykresy sin i cos 偶eby widzie膰, na jak wiele sposob贸w mo偶na z jednego wykresu otrzyma膰 drugi (symetrie, przesuni臋cia). |
student113 post贸w: 156 | 2015-11-16 21:26:57 $\lim_{x \to 2}\frac{2^x-x^2}{x-2}=\lim_{x \to 2}\frac{(2^x-4)-(x^2-4)}{x-2}=\lim_{x \to 2}\frac{2^x-4}{x-2}-\lim_{x \to 2}\frac{(x^2-4)}{x-2}=\lim_{x \to 2}4\frac{2^{x-2}-1}{x-2}-\lim_{x \to 2}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=4*ln(2)-4$ To jest jeszcze jeden przyk艂ad nie wiem, czy trzeba po prostu umie膰 go na pami臋膰  , sk膮d normalna osoba b臋dzie wiedzia艂a 偶eby tam odj膮膰 4, potem wyci膮gn膮膰 4 przed pierwsz膮 granice, no i w og贸le rozbi膰 na dwie granice. Jest tu jaka艣 zasada czy to wy偶szy poziom wtajemniczenia? |
student113 post贸w: 156 | 2015-11-16 21:38:25 Dobre, kto艣 tu ma dzisiaj dobry humor, mog艂e艣 doda膰 偶e u jest kszta艂tem podobne do podkowy to od razu zauwa偶y艂 bym r贸偶nice. Ale jak m贸wi膮 urolodzy, od艂贸偶my jaja na bok. Ja to rozumie tak: u ma si臋 r贸wna膰 zero : $u=0$ x mamy podane do czego d膮偶y: $x=\frac{\pi}{2}$ robimy tak aby r贸wna艂o si臋 zero: $0=\frac{\pi}{2}-x$ podstawiamy u: $u=\frac{\pi}{2}-x$ i u wychodzi takie $x=\frac{\pi}{2}-u$ a w zadaniu wychodzi $x=\frac{\pi}{2}+u$ Podobnie rozumuje dla t ale tam ju偶 dobrze wychodzi z minusem. Poje pytanie brzmi, dlaczego przy zmianie granicy z x na u (nawiasem m贸wi膮c x w obu przypadkach d膮偶y do $\frac{\pi}{2}$) wychodzi inny wz贸r na x ni偶 w przypadku t? |
tumor post贸w: 8070 | 2015-11-16 21:49:06 Kreatywno艣膰. Wcale nie jest to jedyna metoda rozwi膮zywania tego zadania. Og贸lnie PRZESTA艃 my艣le膰 o matematyce jak o zbiorze jasnych wytycznych jak rozwi膮zywa膰 zadania. Matematyka jest t膮 kreatywno艣ci膮 w艂a艣nie, kt贸ra pozwala problem rozwi膮za膰. Zaczyna si臋 zawsze od przyk艂ad贸w prostych, bo w szkole przy klasie (30 os贸b i wi臋cej) nie da si臋 膰wiczy膰 kreatywno艣ci jednostek. Pokazuje im si臋 gotowce. Natomiast matma to nie s膮 gotowce, ale szukanie w艂asnych dr贸g. Ta powy偶ej jest bardzo 艂adna. To przyk艂ad sprytnego policzenia pewnej granicy, gdy mo偶na metod膮 brutaln膮 (tu natychmiastowo zadzia艂a bardzo og贸lna regu艂a de l\'Hospitala). Zalet膮 takiej armaty, metody og贸lnej, jest jej uniwersalno艣膰, m贸wi to co艣 nie tylko o konkretnej granicy, ale te偶 o ca艂ych klasach granic. Zalet膮 takiej pojedynczej granicy jest 膰wiczenie umys艂u, szukanie ciekawych dr贸g rozwi膮za艅. Tak naprawd臋 ju偶 w podstaw贸wce da艂oby si臋 uczniom serwowa膰 przyk艂ady w taki spos贸b, by musieli szuka膰 dobrych metod, a nie tylko stosowa膰 gotowce. Ale to pie艣艅 przysz艂o艣ci. ------ To, co wzi膮艂e艣 (b艂臋dnie) za 偶art, mia艂o Ci臋 poinformowa膰, 偶e u i t i s i w i p i q to s膮 literki. R贸偶ni膮 si臋 kszta艂tem. Je艣li nie lubisz kszta艂tu u, to stosuj sobie t. A je艣li nie lubisz t, to stosuj w. Albo inne literki. Czy s膮dzisz, 偶e jak zamiast x napiszesz y, a zamiast y napiszesz x, to si臋 matematyka zmieni? :) Gdzie dotychczas by艂o 7, teraz b臋dzie 11? No u licha. To literki. Symbole. Bierzemy jak膮艣 literk臋, kt贸rej nie by艂o wcze艣niej, 偶eby si臋 nie myli艂a. To na przyk艂ad u, bo u jest pi臋kna. Na u zaczynaj膮 si臋 naj艂adniejsze s艂owa j臋zyka polskiego, jak ukwia艂 albo uwi膮d. Podstawienie w podanych przez Ciebie przyk艂adach zastosowano takie, 偶eby w mianowniku by艂o tylko u albo tylko t. 呕eby si臋 fajnie skraca艂o, 偶eby granice by艂y takie jak poznane wcze艣niej. Zrobiono to dla wygody i czytelno艣ci. Nie ma tu 偶adnego magicznego kryterium, kiedy stosowa膰 t, albo czy za t podstawi膰 x-2 czy mo偶e $sin^2(ln\frac{\pi}{x})$. Stosuje si臋 to, co w spos贸b pewny, wygodny, elegancki, mo偶liwie szybki, czytelny prowadzi do wyniku. |
student113 post贸w: 156 | 2015-11-16 22:01:13 Ok, mo偶e jestem pocz膮tkowym informatykiem, ale mam zaj臋cia z programowania i wiem co to jest zmienna, wiem 偶e nazwa, oznaczenie nie jest najwa偶niejsze. Ale gdzie ty tu widzisz jasno艣膰 czytelno艣膰, przed i po powinno by膰 to samo. To co b臋d臋 mia艂 granice $\lim_{x \to 4}$ i zamieni臋 to sobie na $x=2-u$ bo akurat tak b臋dzie mi si臋 fajnie skraca艂o z mianownikiem? Sorry ale nie kupuje tego. Jak mo偶e by膰 zamiana granicy z x d膮偶膮cego do $\frac{\pi}{2}$ raz z \"zmienn膮\" (nazwijmy to tak 偶eby nie by艂o nieporozumie艅 z l i t e r k a m i) na minusie a raz na plusie. |
tumor post贸w: 8070 | 2015-11-16 22:32:13 Mo偶esz m贸wi膰 o zmiennych. U偶yto dw贸ch literek, bo u偶ywaj膮cy uzna艂, 偶e to bez znaczenia. Litery u,t s膮 pierwszymi rozwa偶anymi przy podstawieniach dlatego, 偶e maj膮 ma艂o innych typowych zastosowa艅. R贸偶ne litery TYPOWO stosuje si臋 w pewien spos贸b, nie dlatego, 偶e trzeba, ale dlatego, 偶e wtedy czytaj膮cy nie jest zaskoczony. W przyk艂adzie a) dobrano podstawienie w taki spos贸b, by skorzysta膰 z granicy $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$ Oczywi艣cie u偶yto literki u. 呕eby skorzysta膰 z tej granicy, mianownik musia艂 by膰 u, natomiast wa偶ne, 偶e granic臋 liczymy w zerze. Nie gdziekolwiek. Skoro zatem $x\to \frac{\pi}{2}$, to u musia艂o by膰 o $\frac{\pi}{2}$ mniejsze ni偶 x (ewentualnie mie膰 do tego zmieniony znak, ale nie wybrano tej opcji), st膮d $u=x-\frac{\pi}{2}$ W przyk艂adzie b) skorzystano z tej samej granicy, wcze艣niej jednak dokonuj膮c pewnych przekszta艂ce艅 na funkcjach trygonometrycznych. Mo偶esz sprawdzi膰, czy podstawienie $t=x-\frac{\pi}{2}$ przypadkiem nie zadzia艂a. Mo偶e si臋 okaza膰, 偶e te偶 b臋dzie niez艂e. Wa偶ne jest, 偶e potrzebujemy zmiennej zbli偶aj膮cej si臋 do 0, 偶eby u偶y膰 znanej granicy. Wa偶ne jest, by zachodzi艂a odpowiednio艣膰 $t\to 0 \iff x\to \frac{\pi}{2}$. Tyle. Granice naprawd臋 da si臋 rozwi膮zywa膰 r贸偶nie, przyk艂adowe sposoby to nie s膮 jedyne mo偶liwe. Mo偶esz wyku膰 te sposoby na pami臋膰, ale nie o to chodzi. To s膮 tylko przyk艂ady sprytu, 偶eby艣 widzia艂, jak stosowa膰 mo偶na r贸偶ne sztuczki nie trac膮c jednak na 艣cis艂o艣ci rozumowa艅 i poprawno艣ci wyniku. |
student113 post贸w: 156 | 2015-11-16 22:56:54 Ok Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-11-16 23:11:04 przez student113 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj